Resolva por separação de variáveis
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sen}(5 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \sin(5x)
usando o método de separação de variáveis. Vamos separar y de um lado e x do outro e depois integrar.

Passo 2

Isolamos os diferenciais para separar as variáveis:
dy = \sin(5x)\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int dy = \int \sin(5x)\,dx.

Passo 4

Usamos a fórmula
\int \sin(a x)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(a x) + C.
Aqui a=5, então
y = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C.

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