Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-4 \frac{d y}{d x}+4 y=0 \quad ; \quad y=e^{2 x}+x e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = e^{2x} + x e^{2x}
é solução da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} \;-\; 4\,\frac{dy}{dx} \;+\; 4\,y \;=\; 0.
Para isso, vamos calcular y' e y'' e depois substituir na equação.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}\bigr) = 2e^{2x}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(xe^{2x}\bigr) = e^{2x} + 2x e^{2x}.
Logo,
y' = 2e^{2x} + \bigl(e^{2x} + 2x e^{2x}\bigr) = 3e^{2x} + 2x e^{2x}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada y''.
Derivando y' = 3e^{2x} + 2x e^{2x}:
\frac{d}{dx}\bigl(3e^{2x}\bigr) = 6e^{2x}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(2x e^{2x}\bigr) = 2e^{2x} + 4x e^{2x}.
Portanto,
y'' = 6e^{2x} + \bigl(2e^{2x} + 4x e^{2x}\bigr) = 8e^{2x} + 4x e^{2x}.

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na equação
y'' - 4y' + 4y.
Temos:
y'' - 4y' + 4y = \bigl(8e^{2x} + 4x e^{2x}\bigr) -4\bigl(3e^{2x} + 2x e^{2x}\bigr) +4\bigl(e^{2x} + x e^{2x}\bigr).
Agrupando os coeficientes de e^{2x} e de x e^{2x}:
(8 - 12 + 4)\,e^{2x} \;+\; (4 - 8 + 4)\,x e^{2x} = 0\cdot e^{2x} + 0\cdot x e^{2x} = 0.

Resposta

A função dada satisfaz
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0,
logo é de fato solução da equação diferencial.

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