Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}-9 y=0 ; y=k_{1} \operatorname{sen}(3 x)+k_{2} \cos (3 x)+4 e^{x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
y''' - y'' + 9\,y' - 9\,y = 0
e propõe a função
y(x) = k_{1}\sin(3x) + k_{2}\cos(3x) + 4e^{x}
para verificar se ela satisfaz a equação. Vamos calcular as derivadas de y e substituir para checar se o lado esquerdo fica zero.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de y:
y'(x) = k_{1}\cdot3\cos(3x) \;-\; k_{2}\cdot3\sin(3x) \;+\; 4e^{x}

Passo 3

Calcular a segunda derivada de y:
y''(x) = k_{1}\cdot(-9)\sin(3x) \;-\; k_{2}\cdot9\cos(3x) \;+\; 4e^{x}

Passo 4

Calcular a terceira derivada de y:
y'''(x) = k_{1}\cdot(-27)\cos(3x) \;+\; k_{2}\cdot27\sin(3x) \;+\; 4e^{x}

Passo 5

Formar a combinação y''' - y'' + 9y' - 9y:
\begin{aligned} y''' - y'' + 9y' - 9y &= \bigl(-27k_{1}\cos(3x)+27k_{2}\sin(3x)+4e^{x}\bigr)\\\ &\quad -\bigl(-9k_{1}\sin(3x)-9k_{2}\cos(3x)+4e^{x}\bigr)\\\ &\quad +9\bigl(3k_{1}\cos(3x)-3k_{2}\sin(3x)+4e^{x}\bigr)\\\ &\quad -9\bigl(k_{1}\sin(3x)+k_{2}\cos(3x)+4e^{x}\bigr). \end{aligned}

Passo 6

Agrupando os termos de \sin(3x), \cos(3x) e e^{x}:
  • Coeficiente de \sin(3x):
    -\;(-9k_{1})\;+\;9\cdot(-3k_{2})\;-\;9k_{1} = 9k_{1} -27k_{2}-9k_{1} = -27k_{2} +0 = 0
  • Coeficiente de \cos(3x):
    -27k_{1})\;-\;(-9k_{2})\;+\;9\cdot3k_{1}\;-\;9k_{2} = -27k_{1}+9k_{2}+27k_{1}-9k_{2} = 0
  • Coeficiente de e^{x}:
    4 - 4 + 9\cdot4 - 9\cdot4 = 4-4+36-36 = 0 Assim, todos os termos cancelam e a combinação dá zero.

Passo 7

Como
y''' - y'' + 9y' - 9y = 0
para toda x, concluímos que a função dada é de fato solução da equação diferencial.

Resposta

Sim, a função y(x)=k_{1}\sin(3x)+k_{2}\cos(3x)+4e^{x} satisfaz a equação diferencial y'''-y''+9y'-9y=0.

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