Resolva as sequintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você me enviou. A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e não é linear por causa do termo
. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração para chegar na solução. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, para facilitar as coisas, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
. Isso significa que a segunda derivada
, onde
é a derivada de
em relação a
.
Substituindo na equação original, temos:
Agora, nossa equação ficou de primeira ordem em termos de
e
. Vamos reorganizar isso para isolar
:
Passo 3
Essa equação é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar. Vamos fazer isso:
Agora, vamos integrar os dois lados. Lembra que a integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
também é
. Então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver essa equação para
. Tirando a tangente dos dois lados, temos:
Usando a identidade trigonométrica para a tangente da diferença,
, obtemos:
Vamos chamar
de
(já que
é uma constante,
também será uma constante qualquer). Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
integrando
em relação a
. Vamos integrar:
Podemos dividir a fração:
Então, a integral fica:
Vamos resolver cada parte:
- Para
, fazemos a substituição , então e . Assim, a integral fica:
- Para
, podemos reescrever a fração:
Então,
Juntando tudo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.