Resolva as sequintes equações diferenciais.
(1+x^2) y^prime prime+(y^prime)^2+1=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você me enviou. A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial:
(1+x^2) y'' + (y')^2 + 1 = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem e não é linear por causa do termo (y')^2. Vamos precisar usar técnicas de substituição e integração para chegar na solução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, para facilitar as coisas, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar p = y' . Isso significa que a segunda derivada y'' = p' , onde p' é a derivada de p em relação a x .
Substituindo na equação original, temos:
(1 + x^2) p' + p^2 + 1 = 0
Agora, nossa equação ficou de primeira ordem em termos de p e x . Vamos reorganizar isso para isolar p' :
p' = - (p^2 + 1) 1 + x^2

Passo 3

Essa equação é do tipo separável, o que significa que podemos separar as variáveis p e x para integrar. Vamos fazer isso:
dpp^2 + 1 = - dx 1 + x^2
Agora, vamos integrar os dois lados. Lembra que a integral de 1p^2 + 1 em relação a p é arctan(p) , e a integral de 11 + x^2 em relação a x também é arctan(x) . Então:
integral dpp^2 + 1 = - integral dx1 + x^2
arctan(p) = -arctan(x) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver essa equação para p . Tirando a tangente dos dois lados, temos:
p = tan(-arctan(x) + C)
Usando a identidade trigonométrica para a tangente da diferença, tan(A - B) = tan A - tan B1 + tan A tan B , obtemos:
p = tan C - x1 + tan C cdot x
Vamos chamar tan C de A (já que C é uma constante, A também será uma constante qualquer). Então:
p = A - x1 + A x
Lembrando que p = y' , temos:
y' = A - x1 + A x

Passo 5

Agora, precisamos encontrar y(x) integrando y' em relação a x . Vamos integrar:
y = integral A - x1 + A x dx
Podemos dividir a fração:
A - x1 + A x = A1 + A x - x1 + A x
Então, a integral fica:
y = A integral dx1 + A x - integral x1 + A x dx + C
Vamos resolver cada parte:
  1. Para A integral dx1 + A x , fazemos a substituição u = 1 + A x , então du = A dx e dx = duA . Assim, a integral fica:
A cdot 1A ln|1 + A x| = ln|1 + A x|
  1. Para integral x1 + A x dx , podemos reescrever a fração:
x1 + A x = 1 + A x - 1A(1 + A x) = 1A - 1A(1 + A x)
Então,
integral x1 + A x dx = 1A integral dx - 1A integral dx1 + A x = xA - 1A^2 ln|1 + A x|
Juntando tudo:
y = ln|1 + A x| - ( xA - 1A^2 ln|1 + A x| ) + C = (1 + 1A^2) ln|1 + A x| - xA + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = (1 + 1A^2) ln|1 + A x| - xA + C
Onde A e C são constantes arbitrárias.

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