Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
t d yd t-y=t^2 sin (t^2), t neq 0, y(t)=t integralt0^t sin (s^2) d s ;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
tdydt-y = t^2sinl(t^2r), tneq0,
e propõe a função
y(t)=tintegralt0^tsinl(s^2r),ds
O que vamos fazer é verificar por substituição direta se essa y(t) satisfaz a equação. Para isso precisamos lembrar do teorema fundamental do cálculo (que diz que a derivada de integralt0^tf(s),ds é f(t)) e usar a regra do produto para diferenciar y(t)=tcdot I(t), onde definimos
I(t)=integralt0^tsinl(s^2r),ds

Passo 2

Calculamos a derivada de y(t) usando regra do produto e o teorema fundamental:
y(t)=t,I(t) Longrightarrow y'(t)=1cdot I(t) + tcdot I'(t) = integralt0^tsinl(s^2r),ds ;+; tsinl(t^2r)

Passo 3

Agora substituímos em t,y'(t)-y(t):
t,y'(t)-y(t) = tl[!integralt0^tsin(s^2),ds + tsin(t^2)r] - tintegralt0^tsin(s^2),ds = t^2sinl(t^2r)
Vemos que o lado esquerdo coincide exatamente com o termo t^2sin(t^2) do lado direito da equação original.

Resposta

A função
y(t)=tintegralt0^tsinl(s^2r),ds
é, de fato, solução da equação diferencial dada.

Exercícios relacionados