Resolva as sequintes equações diferenciais.
(y^prime prime)^2-5 y^prime+6=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a seguinte equação diferencial:
(y^prime prime)^2-5 y^prime+6=0
Nesse exercício, estamos trabalhando com equações diferenciais não lineares, já que a segunda derivada y'' está elevada ao quadrado. Para resolver essa equação, precisaremos usar técnicas de substituição e integração. Vamos destrinchar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos isolar (y'')^2 na equação:
(y'')^2 = 5 y' - 6
Agora, para simplificar, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se que ao fazer isso, consideramos tanto a raiz positiva quanto a negativa:
y'' = raiz5 y' - 6 ou y'' = -raiz5 y' - 6
Vamos trabalhar com a forma positiva para começar:
y'' = raiz5 y' - 6

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja p = y' . Assim, a segunda derivada y'' pode ser representada como a derivada de p em relação a x :
y'' = p'
Substituindo na equação anterior:
p' = raiz5 p - 6
Isso nos leva a uma equação diferencial separável, onde podemos separar as variáveis p e x .

Passo 4

Vamos separar as variáveis p e x :
dpraiz5 p - 6 = dx
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar uma expressão para p em termos de x .

Passo 5

Vamos integrar a expressão:
integral 1raiz5 p - 6 , dp = integral dx
Para integrar o lado esquerdo, fazemos uma substituição. Seja u = 5 p - 6 , então du = 5 dp ou dp = du5 .
Substituindo na integral:
integral 1raizu cdot du5 = 15 integral u^-1/2 , du = 15 cdot 2 u^1/2 + C = 25 raiz5 p - 6 + C
Igualando à integral do lado direito:
25 raiz5 p - 6 = x + C1

Passo 6

Agora, vamos resolver para p :
Multiplicando ambos os lados por 52 :
raiz5 p - 6 = 52 (x + C1)
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
5 p - 6 = ( 52 )^2 (x + C1)^2 = 254 (x + C1)^2
Resolvendo para p :
5 p = 254 (x + C1)^2 + 6
p = 2520 (x + C1)^2 + 65 = 54 (x + C1)^2 + 65
Lembrando que p = y' :
y' = 54 (x + C1)^2 + 65

Passo 7

Agora, precisamos integrar y' para encontrar y . Vamos integrar termo a termo:
y = integral ( 54 (x + C1)^2 + 65 ) dx
Integrando:
y = 54 cdot (x + C1)^33 + 65 x + C2 = 512 (x + C1)^3 + 65 x + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 512 (x + C1)^3 + 65 x + C2
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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