Resolva as sequintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a seguinte equação diferencial:
Nesse exercício, estamos trabalhando com equações diferenciais não lineares, já que a segunda derivada
está elevada ao quadrado. Para resolver essa equação, precisaremos usar técnicas de substituição e integração. Vamos destrinchar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação:
Agora, para simplificar, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Lembre-se que ao fazer isso, consideramos tanto a raiz positiva quanto a negativa:
Vamos trabalhar com a forma positiva para começar:
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a resolução. Seja
. Assim, a segunda derivada
pode ser representada como a derivada de
em relação a
:
Substituindo na equação anterior:
Isso nos leva a uma equação diferencial separável, onde podemos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar uma expressão para
em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar a expressão:
Para integrar o lado esquerdo, fazemos uma substituição. Seja
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Igualando à integral do lado direito:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 7
Agora, precisamos integrar
para encontrar
. Vamos integrar termo a termo:
Integrando:
Onde
e
são constantes de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.