Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial:
d yd t+p(t) y=0, p(t) neq 0, y(t)=C e^(-integralt0^t p(s) d s),

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de primeira ordem
d yd t + p(t),y = 0,
e propõe a função
y(t) = C,e^-integralt0^tp(s),ds
O que vamos fazer é calcular d yd t e substituir na equação para verificar se ela anula o lado esquerdo.

Passo 2

Calcular a derivada de y(t). Usamos a regra da cadeia para exponencial de integral variável:
d yd t = dd tl(C,e^-integralt0^tp(s),dsr) = C,e^-integralt0^tp(s),ds,dd tl(-!!integralt0^tp(s),dsr) = -C,p(t),e^-integralt0^tp(s),ds

Passo 3

Substituir d yd t e y na equação diferencial:
d yd t + p(t),y = l(-C,p(t),e^-integralt0^tp(s),dsr) + p(t),l(C,e^-integralt0^tp(s),dsr) = 0
Como o resultado é zero, a função satisfaz a equação.

Passo 4

Concluímos que, para todo C arbitrário,
y(t)=C,e^-integralt0^tp(s),ds
é solução da equação diferencial tfracd yd t+p(t),y=0.

Resposta

Sim. A função y(t)=C,e^-integralt0^tp(s),ds satisfaz a equação diferencial d yd t+p(t),y=0.

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