Responda:
Qual o posto das matrizes abaixo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o posto (rank) das matrizes A, B e C. O posto de uma matriz é a dimensão do espaço gerado pelas suas linhas (ou, equivalentemente, pelas suas colunas). Para isso, vamos usar operações elementares de linha (eliminação de Gauss) e também verificar dependências lineares entre linhas.
Passo 2
Para a matriz , as linhas são
Note que a segunda e a terceira linha são iguais, ou seja, há apenas três linhas não nulas e independentes: a primeira, a segunda e a quarta. Logo
Passo 3
Para a matriz , primeiro calculamos o determinante:
Como , temos . Aplicando eliminação de Gauss com pivô em na primeira linha:
obtemos as linhas
Há exatamente duas linhas não nulas e independentes, portanto
Passo 4
Para a matriz , as linhas são
Observamos que a terceira linha é vezes a primeira:
logo não acrescenta dimensão. Verificamos que a primeira e a segunda linha não são múltiplos uma da outra, então são independentes. Assim há duas linhas independentes e