Resolva o sistema abaixo fazendo a decomposição de Cholesky:
\left\{\begin{array}{c} 9 x_{1}+6 x_{2}-3 x_{3}+3 x_{4}=12 \\\\ 6 x_{1}+20 x_{2}+2 x_{3}+22 x_{4}=64 \\\\ -3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4}=4 \\\\ 3 x_{1}+22 x_{2}+2 x_{3}+28 x_{4}=82 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando a decomposição de Cholesky:
\left\{\begin{array}{c} 9 x_{1}+6 x_{2}-3 x_{3}+3 x_{4}=12, \\\\ 6 x_{1}+20 x_{2}+2 x_{3}+22 x_{4}=64, \\\\ -3 x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}+2 x_{4}=4, \\\\ 3 x_{1}+22 x_{2}+2 x_{3}+28 x_{4}=82. \end{array}\right.
As informações relevantes que temos são:
  • A matriz dos coeficientes A (peguei os coeficientes do enunciado) é
A=\begin{pmatrix} 9 & 6 & -3 & 3\\[4pt] 6 & 20 & 2 & 22\\[4pt] -3 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 3 & 22 & 2 & 28 \end{pmatrix}.
  • O vetor termo independente b (peguei os termos à direita do enunciado) é
b=\begin{pmatrix}12\\[4pt]64\\[4pt]4\\[4pt]82\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} tal que A x=b usando a decomposição de Cholesky.]

Passo 2

Breve explicação didática da decomposição de Cholesky (sem pular etapas).
  • A decomposição de Cholesky procura escrever A na forma
A=L\,L^{T},
onde L é matriz triangular inferior com entradas l_{ij} e diagonais positivas. Isso é possível quando A é simétrica e definida positiva (aqui A é simétrica; a decomposição dará valores reais positivos na diagonal).
  • As fórmulas para calcular os elementos de L por linhas/colunas (processo direto) são, para i=1,\dots,n:
l_{ii}=\sqrt{A_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}},
e para j=i+1,\dots,n:
l_{ji}=\frac{1}{l_{ii}}\left(A_{ji}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{jk}\,l_{ik}\right).
Aqui l_{ji} denota o elemento da linha j, coluna i de L. Em palavras: para cada coluna i primeiro computa-se o elemento diagonal l_{ii} usando os quadrados já calculados; depois computam-se os elementos abaixo da diagonal naquela coluna usando os produtos já conhecidos.
  • Depois de ter L, resolve-se L y=b por substituição direta (forward substitution) para encontrar y e, em seguida, resolve-se L^{T} x=y por substituição regressiva (back substitution) para obter x.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo ao A dado.

Passo 3

Cálculo do primeiro elemento diagonal l_{11}:
l_{11}=\sqrt{A_{11}}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Cálculo dos elementos da primeira coluna abaixo da diagonal ( l_{21},l_{31},l_{41}) usando
l_{j1}=\frac{1}{l_{11}}(A_{j1}),\quad j=2,3,4,
pois o somatório \sum_{k=1}^{0}(\cdot) é nulo.
  • l_{21}=\dfrac{A_{21}}{l_{11}}=\dfrac{6}{3}=2.
  • l_{31}=\dfrac{A_{31}}{l_{11}}=\dfrac{-3}{3}=-1.
  • l_{41}=\dfrac{A_{41}}{l_{11}}=\dfrac{3}{3}=1.

Passo 5

Cálculo de l_{22} (segundo elemento diagonal) pela fórmula
l_{22}=\sqrt{A_{22}-l_{21}^{2}}.
Substituindo:
l_{22}=\sqrt{20-(2)^{2}}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4.

Passo 6

Cálculo de l_{32} (elemento linha 3, coluna 2) usando
l_{32}=\frac{1}{l_{22}}\bigl(A_{32}-l_{31}l_{21}\bigr).
Calculando os termos:
l_{31}l_{21}=(-1)\cdot 2=-2,
portanto
l_{32}=\frac{1}{4}\bigl(2-(-2)\bigr)=\frac{1}{4}\cdot 4=1.

Passo 7

Cálculo de l_{42} (linha 4, coluna 2) usando
l_{42}=\frac{1}{l_{22}}\bigl(A_{42}-l_{41}l_{21}\bigr).
Aqui l_{41}l_{21}=1\cdot 2=2, então
l_{42}=\frac{1}{4}\bigl(22-2\bigr)=\frac{20}{4}=5.

Passo 8

Cálculo de l_{33} (terceiro diagonal) pela fórmula
l_{33}=\sqrt{A_{33}-\bigl(l_{31}^{2}+l_{32}^{2}\bigr)}.
Substituindo os valores:
l_{33}=\sqrt{6-\bigl((-1)^{2}+1^{2}\bigr)}=\sqrt{6-(1+1)}=\sqrt{4}=2.

Passo 9

Cálculo de l_{43} (linha 4, coluna 3) usando
l_{43}=\frac{1}{l_{33}}\bigl(A_{43}-l_{41}l_{31}-l_{42}l_{32}\bigr).
Calculando:
l_{41}l_{31}=1\cdot(-1)=-1,\qquad l_{42}l_{32}=5\cdot 1=5,
logo
l_{43}=\frac{1}{2}\bigl(2-(-1)-5\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(2+1-5\bigr)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1.

Passo 10

Cálculo de l_{44} (último elemento diagonal) pela fórmula
l_{44}=\sqrt{A_{44}-\bigl(l_{41}^{2}+l_{42}^{2}+l_{43}^{2}\bigr)}.
Substituindo:
l_{41}^{2}+l_{42}^{2}+l_{43}^{2}=1^{2}+5^{2}+(-1)^{2}=1+25+1=27,
então
l_{44}=\sqrt{28-27}=\sqrt{1}=1.

Passo 11

Agora escrevemos a matriz L encontrada (todos os l_{ij} calculados):
L=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 4 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (opcional): L L^{T} reconstrói a matriz A dada (isto confirma que os cálculos estão consistentes).]

Passo 12

Resolver A x=b em duas etapas. Primeiro, ponha y tal que
L\,y=b
e resolva por substituição direta (forward substitution).
Sistema L y=b componente a componente:
  • 3 y_{1}=12 \Rightarrow y_{1}=4.
  • 2 y_{1}+4 y_{2}=64 \Rightarrow 2\cdot 4+4 y_{2}=64 \Rightarrow 4 y_{2}=56 \Rightarrow y_{2}=14.
  • -1 y_{1}+1 y_{2}+2 y_{3}=4 \Rightarrow -4+14+2 y_{3}=4 \Rightarrow 2 y_{3}=-6 \Rightarrow y_{3}=-3.
  • 1 y_{1}+5 y_{2}-1 y_{3}+1 y_{4}=82 \Rightarrow 4+70-(-3)+y_{4}=82 \Rightarrow 4+70+3+y_{4}=82 \Rightarrow y_{4}=5.
Assim
y=\begin{pmatrix}4\\[4pt]14\\[4pt]-3\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 13

Agora resolvemos L^{T}x=y por substituição regressiva (back substitution). A matriz L^{T} é triangular superior:
L^{T}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Resolvendo de baixo para cima:
  • Da última equação: 1\cdot x_{4}=y_{4}=5 \Rightarrow x_{4}=5.
  • Terceira equação: 2 x_{3}-1 x_{4}=y_{3}=-3 \Rightarrow 2 x_{3}-5=-3 \Rightarrow 2 x_{3}=2 \Rightarrow x_{3}=1.
  • Segunda equação: 4 x_{2}+1 x_{3}+5 x_{4}=y_{2}=14 \Rightarrow 4 x_{2}+1+25=14 \Rightarrow 4 x_{2}=-12 \Rightarrow x_{2}=-3.
  • Primeira equação: 3 x_{1}+2 x_{2}-1 x_{3}+1 x_{4}=y_{1}=4 \Rightarrow 3 x_{1}+2(-3)-1+5=4 \Rightarrow 3 x_{1}-6-1+5=4 \Rightarrow 3 x_{1}-2=4 \Rightarrow 3 x_{1}=6 \Rightarrow x_{1}=2.
Portanto a solução é x=(2,-3,1,5)^{T}.]

Resposta

x_{1}=2
x_{2}=-3
x_{3}=1
x_{4}=5

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