O que se pede: encontrar x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} tal que A x=b usando a decomposição de Cholesky.]
Passo 2
Breve explicação didática da decomposição de Cholesky (sem pular etapas).
A decomposição de Cholesky procura escrever A na forma
A=L\,L^{T},
onde L é matriz triangular inferior com entradas l_{ij} e diagonais positivas. Isso é possível quando A é simétrica e definida positiva (aqui A é simétrica; a decomposição dará valores reais positivos na diagonal).
As fórmulas para calcular os elementos de L por linhas/colunas (processo direto) são, para i=1,\dots,n:
Aqui l_{ji} denota o elemento da linha j, coluna i de L. Em palavras: para cada coluna i primeiro computa-se o elemento diagonal l_{ii} usando os quadrados já calculados; depois computam-se os elementos abaixo da diagonal naquela coluna usando os produtos já conhecidos.
Depois de ter L, resolve-se L y=b por substituição direta (forward substitution) para encontrar y e, em seguida, resolve-se L^{T} x=y por substituição regressiva (back substitution) para obter x.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo ao A dado.
Passo 3
Cálculo do primeiro elemento diagonal l_{11}:
l_{11}=\sqrt{A_{11}}=\sqrt{9}=3.
Passo 4
Cálculo dos elementos da primeira coluna abaixo da diagonal (l_{21},l_{31},l_{41}) usando
l_{j1}=\frac{1}{l_{11}}(A_{j1}),\quad j=2,3,4,
pois o somatório \sum_{k=1}^{0}(\cdot) é nulo.
l_{21}=\dfrac{A_{21}}{l_{11}}=\dfrac{6}{3}=2.
l_{31}=\dfrac{A_{31}}{l_{11}}=\dfrac{-3}{3}=-1.
l_{41}=\dfrac{A_{41}}{l_{11}}=\dfrac{3}{3}=1.
Passo 5
Cálculo de l_{22} (segundo elemento diagonal) pela fórmula
l_{22}=\sqrt{A_{22}-l_{21}^{2}}.
Substituindo:
l_{22}=\sqrt{20-(2)^{2}}=\sqrt{20-4}=\sqrt{16}=4.
Passo 6
Cálculo de l_{32} (elemento linha 3, coluna 2) usando