Seja o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{3}=5 \\\ x_{1}+10 x_{2}=11 \end{array}\right.
a. Utilize o método iterativo de Gauss-Seidel para encontrar \mathrm{x}_{1} e \mathrm{x}_{2} que satisfazem este sistema de equações lineares. Execute quatro iterações para obter uma aproximação da solução. Utilize no mínimo cinco dígitos decimais significativos.
b. Verifique os critérios de convergência de linha e de Sassenfeld. Comente em função dos resultados encontrados no item a.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{3}=5 \\\ x_{1}+10 x_{2}=11 \end{array}\right.
O que é pedido:
  • (a) Usar o método iterativo de Gauss–Seidel para encontrar \,x_{1} e \,x_{2}\, que satisfaçam o sistema, executando quatro iterações e reportando aproximações com no mínimo cinco dígitos significativos.
  • (b) Verificar os critérios de convergência de linha (dominância diagonal por linha) e de Sassenfeld e comentar os resultados à luz do item (a).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há duas equações e três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}. Ou seja, o sistema é subdeterminado e existe uma família infinita de soluções parametrizada por \,x_{3}.
  • Ainda assim, para obter \,x_{1} e \,x_{2} podemos considerar o sistema como um sistema quadrado em (x_{1},x_{2}) com \,x_{3} aparecendo apenas como termo conhecido (quando fixado). Em outras palavras, as equações podem ser escritas isolando x_{1} e x_{2}.

Passo 2

Explicação didática do método de Gauss–Seidel (no contexto concreto)
  • Ideia: para um sistema linear quadrado A x = b o Gauss–Seidel atualiza as incógnitas sequencialmente usando sempre os valores mais recentes disponíveis. Cada iteração dá novas estimativas de cada componente de x.
  • No nosso caso usamos as duas equações para atualizar x_{1} e x_{2}. Como x_{3} aparece apenas na primeira equação, ele atua como um parâmetro; para executar iterações numéricas precisamos fixar um valor para x_{3}. Uma escolha natural e simples para começar é \,x_{3}^{(k)}=0 para todo k (ou seja, fixar x_3=0). Isso é uma escolha inicial válida: o objetivo do exercício é praticar Gauss–Seidel e verificar convergência; essa escolha mostra o comportamento do método.
Isolando as incógnitas para as fórmulas iterativas (expressões que o Gauss–Seidel usa)
  • Da primeira equação:
2 x_{1} + 0\cdot x_{2} + 3 x_{3} = 5 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = \frac{5 - 3 x_{3}}{2}.
  • Da segunda equação:
x_{1} + 10 x_{2} = 11 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = \frac{11 - x_{1}}{10}.
Estas são as fórmulas que usaremos em cada iteração: primeiro atualizamos x_{1} pela primeira fórmula (usando o valor corrente de x_3), em seguida atualizamos x_{2} usando o novo x_{1}.
Escolha de palpite inicial e convenção
  • Vamos tomar como palpite inicial
x_{1}^{(0)} = 0,\qquad x_{2}^{(0)} = 0,\qquad x_{3}=0\\ (\text{fixo}).
(Escolher x_{3}=0 é uma convenção inicial simples; o sistema em si permite qualquer x_{3}, e a família de soluções será explicada adiante.)
Agora executamos as iterações (pedem quatro iterações). Vou mostrar cada passo com as contas e manter pelo menos cinco dígitos significativos nas aproximações.
Iteração 1 (k=0 \to k=1):
x_{1}^{(1)} = \frac{5 - 3 x_{3}}{2} = \frac{5 - 3\cdot 0}{2} = \frac{5}{2} = 2,5.
Com cinco dígitos significativos escrevemos x_{1}^{(1)} = 2,5000.
Agora x_{2}^{(1)} (usando x_{1}^{(1)}):
x_{2}^{(1)} = \frac{11 - x_{1}^{(1)}}{10} = \frac{11 - 2,5}{10} = \frac{8,5}{10} = 0,85.
Com cinco dígitos significativos: x_{2}^{(1)} = 0,85000.
Iteração 2 (k=1 \to k=2):
  • Recalcula-se x_{1} com o mesmo x_{3}=0:
x_{1}^{(2)} = \frac{5 - 3\cdot 0}{2} = 2,5 = 2,5000.
  • Usa-se x_{1}^{(2)} para atualizar x_{2}:
x_{2}^{(2)} = \frac{11 - 2,5}{10} = 0,85 = 0,85000.
Iteração 3 (k=2 \to k=3) e Iteração 4 (k=3 \to k=4):
  • O mesmo cálculo se repete, porque as fórmulas são exatas dadas x_{3}=0. Assim
x_{1}^{(3)} = x_{1}^{(4)} = 2,5000,\qquad x_{2}^{(3)} = x_{2}^{(4)} = 0,85000.
Observação numérica: depois da primeira iteração os valores já não mudam — isto é, o método já atingiu a solução exata para (x_1,x_2) dada a escolha x_3=0.

Passo 3

Interpretação algébrica (família de soluções em função de x_{3})
  • Como o sistema é subdeterminado, podemos escrever a solução geral para x_{1} e x_{2} em termos de x_{3}. Da primeira equação:
x_{1} = \frac{5 - 3 x_{3}}{2}.
Substituindo isso na expressão para x_{2}:
x_{2} = \frac{11 - x_{1}}{10} = \frac{11 - \dfrac{5 - 3 x_{3}}{2}}{10} = \frac{\dfrac{22 - (5 - 3 x_{3})}{2}}{10} = \frac{17 + 3 x_{3}}{20}.
Portanto a família de soluções (para quaisquer x_{3}) é
x_{1} = \frac{5 - 3 x_{3}}{2},\qquad x_{2} = \frac{17 + 3 x_{3}}{20}.
Nosso procedimento numérico acima corresponde ao caso particular x_{3}=0, que dá x_{1}=2,5000 e x_{2}=0,85000.

Passo 4

Critério de convergência de linha (dominância diagonal por linha) — explicação e verificação
  • O critério de linha (dominância diagonal por linha) para um sistema quadrado A x = b diz: se, para cada linha i,
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|,
então o método de Gauss–Seidel (e também o de Jacobi) convergem para a solução a partir de qualquer chute inicial. (É uma condição suficiente, não necessária.)
  • No nosso caso trabalhamos com o sistema em (x_{1},x_{2}). A matriz de coeficientes associada a essas duas incógnitas é
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 1 & 10 \end{pmatrix},
porque a primeira equação tem coeficiente zero para x_{2}. Verificamos linha a linha:
Linha 1: |a_{11}| = 2. Soma dos demais coeficientes da linha: |a_{12}| = 0.
2 > 0 \quad\text{(satisfeito).}
Linha 2: |a_{22}| = 10. Soma dos demais coeficientes da linha: |a_{21}| = 1.
10 > 1 \quad\text{(satisfeito).}
Conclusão: a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, logo o critério de linha é satisfeito.

Passo 5

Critério de Sassenfeld — explicação e verificação
  • O critério de Sassenfeld fornece uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss–Seidel. Define-se uma sequência \beta_{1},\dots,\beta_{n} por
\beta_{1} = \frac{1}{|a_{11}|}\sum_{j=2}^{n} |a_{1j}|, \qquad \beta_{i} = \frac{1}{|a_{ii}|}\Big(\sum_{j=1}^{i-1} |a_{ij}|\beta_{j} + \sum_{j=i+1}^{n} |a_{ij}|\Big)
para i=2,\dots,n. Se \max_{i}\beta_{i} < 1 então o método de Gauss–Seidel converge para a solução a partir de qualquer chute inicial.
  • Calculemos para nossa matriz A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&10\end{pmatrix}:
\beta_{1} = \frac{|a_{12}|}{|a_{11}|} = \frac{0}{2} = 0.
\beta_{2} = \frac{|a_{21}|\beta_{1} + \sum_{j>2}|a_{2j}|}{|a_{22}|} = \frac{1\cdot 0 + 0}{10} = 0.
Logo \max(\beta_{1},\beta_{2}) = 0 < 1. O critério de Sassenfeld é satisfeito (de forma forte).

Passo 6

Comentário unificando (a) e (b) — por que o método se comportou como observado
  • Ambos os critérios (dominância diagonal por linhas e Sassenfeld) são satisfeitos para o sistema em (x_{1},x_{2}). Essas condições são suficientes para garantir convergência do Gauss–Seidel a partir de qualquer chute inicial.
  • No nosso caso particular a fórmula para x_{1} não depende de x_{2} (coeficiente de x_{2} na primeira equação é zero): isso faz com que x_{1} seja determinado diretamente a partir de x_{3} em uma única atualização; em seguida x_{2} é obtido exatamente a partir do novo x_{1}. Por isso numericamente o método alcançou a solução exata para (x_{1},x_{2}) já na primeira iteração (e manteve os mesmos valores nas iterações seguintes). Isso está em total acordo com a verificação dos critérios de convergência.
Força extra: se alguém escolher outro valor fixo para x_{3} (por exemplo x_{3}=1), as fórmulas gerais acima dão rapidamente os valores correspondentes e o método continuará convergindo rapidamente (na prática, em uma iteração o método já fornece os valores corretos para (x_1,x_2), dado o x_3 fixo).

Resposta

(a) x_{1}^{(4)} = 2,5000,\quad x_{2}^{(4)} = 0,85000
(b) Critério de linha: satisfeito (matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas). Critério de Sassenfeld: satisfeito ( \beta_{1}=0,\\ \beta_{2}=0,\\ \max\beta_{i}=0<1). Comentário: ambos os critérios concordam com o fato observado em (a) — o método converge e, neste caso particular (com x_{3}=0), atinge a solução exata para (x_{1},x_{2}) já na primeira iteração.

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