Seja o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{c} K+2 x_{2}+x_{3}=0 \\\ x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1 \\\ K x_{1}+2 x_{2}-6 x_{3}=2 \end{array}\right.
Determine os valores de K para que o sistema acima satisfaça o critério de convergência de linhas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema (aqui interpreto que a notação quer dizer que K é o coeficiente de x_1 na primeira equação):
\left\{\begin{array}{l} K x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1,\\[4pt] K x_{1}+2 x_{2}-6 x_{3}=2. \end{array}\right.
O que se pede: determinar todos os valores de K para os quais o sistema satisfaz o critério de convergência de linhas (isto é, o critério de dominância diagonal por linhas, suficiente para convergência dos métodos iterativos Jacobi e Gauss–Seidel).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Coeficientes das equações formam a matriz
A=\begin{pmatrix} K & 2 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 3\\[4pt] K & 2 & -6 \end{pmatrix}.
  • O critério pedido é a dominância diagonal por linhas (ver definição no próximo passo).]

Passo 2

Explicação do critério (aula rápida, passo a passo): o critério de dominância diagonal por linhas é o seguinte suficiente para convergência de Jacobi/Gauss–Seidel.
Seja A=(a_{ij}) a matriz de coeficientes. Dizemos que A é estritamente diagonalmente dominante por linhas se, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Aqui a_{ii} é o coeficiente na diagonal da linha i (o coeficiente de x_i quando as incógnitas estão na ordem padrão) e \sum_{j\ne i}|a_{ij}| é a soma dos módulos dos demais coeficientes da mesma linha. Se isso ocorre para todas as linhas, então tanto o método de Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergem para a solução, para qualquer chute inicial.

Passo 3

Vou aplicar o critério linha a linha usando a matriz A acima. Escrevo cada linha com seu coeficiente diagonal e a soma dos demais coeficientes em módulo.
Linha 1: coeficiente diagonal a_{11}=K, soma dos outros módulos =|2|+|1|=3.
Linha 2: coeficiente diagonal a_{22}=5, soma dos outros módulos =|1|+|3|=4.
Linha 3: coeficiente diagonal a_{33}=-6, soma dos outros módulos =|K|+|2|=|K|+2.

Passo 4

Aplicando a desigualdade do critério à linha 1:
|a_{11}|>|2|+|1|\quad\Longrightarrow\quad |K|>3.
Isto significa que, para a primeira linha ser estritamente dominante, K deve satisfazer |K|>3 (ou seja K>3 ou K<-3).

Passo 5

Analisando a linha 2:
|a_{22}|>|1|+|3|\quad\Longrightarrow\quad 5>4,
o que é verdade independentemente de K. Logo a segunda linha já satisfaz o critério sem impor restrição sobre K.

Passo 6

Analisando a linha 3:
|a_{33}|>|K|+|2|\quad\Longrightarrow\quad 6>|K|+2.
Rearranjando,
|K|<6-2=4.
Portanto, para a terceira linha ser estritamente dominante é necessário |K|<4.

Passo 7

Agora combino as condições obtidas nas linhas que impõem restrição sobre K:
|K|>3\quad\text{e}\quad |K|<4.
Juntando as duas temos
3<|K|<4,
o que equivale ao intervalo-union
K\in(-4,-3)\cup(3,4).
Significado: para esses valores de K todas as três linhas são estritamente diagonalmente dominantes, portanto o critério de convergência por linhas é satisfeito.

Resposta

K\in(-4,-3)\cup(3,4)

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