9 Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss.
c 2 x1+2 x2+x3+x4=7 x1-x2+2 x3-x4=1 3 x1+2 x2-3 x3-2 x4=4 4 x1+3 x2+2 x3+x4=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas pelo método de eliminação de Gauss (ou escalonamento), ou seja, transformar o sistema numa forma triangular superior e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 2 & 2 & 1 & 1 & 7 1 & -1 & 2 & -1 & 1 3 & 2 & -3 & -2 & 4 4 & 3 & 2 & 1 & 12 ]
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (assim o primeiro pivô fica igual a 1):
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 1 2 & 2 & 1 & 1 & 7 3 & 2 & -3 & -2 & 4 4 & 3 & 2 & 1 & 12 ]

Passo 3

Usando o pivô da primeira linha (valor 1 na posição (1,1)), eliminamos as entradas abaixo na primeira coluna:
– Linha 2 ← Linha 2 – 2·Linha 1
– Linha 3 ← Linha 3 – 3·Linha 1
– Linha 4 ← Linha 4 – 4·Linha 1
Isso gera a matriz
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 1 0 & 4 & -3 & 3 & 5 0 & 5 & -9 & 1 & 1 0 & 7 & -6 & 5 & 8 ]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (valor 4 na posição (2,2)) para zerar abaixo na segunda coluna:
– Linha 3 ← Linha 3 – (5/4)·Linha 2
– Linha 4 ← Linha 4 – (7/4)·Linha 2
Obtendo
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 1 0 & 4 & -3 & 3 & 5 0 & 0 & -tfrac214 & -tfrac114 & -tfrac214 0 & 0 & -tfrac34 & -tfrac14 & -tfrac34 ]

Passo 5

Para simplificar a terceira etapa, trocamos a linha 3 com a linha 4, pois na linha 4 o pivô de terceiro nível (em x₃) é mais simples:
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 1 0 & 4 & -3 & 3 & 5 0 & 0 & -tfrac34 & -tfrac14 & -tfrac34 0 & 0 & -tfrac214 & -tfrac114 & -tfrac214 ]

Passo 6

Eliminamos o termo abaixo do pivô na terceira coluna (posição (3,3)):
– Linha 4 ← Linha 4 – 7·Linha 3
Como (−21/4) – 7·(−3/4)=0 e o lado direito também zera corretamente, chegamos a
[cccc|c 1 & -1 & 2 & -1 & 1 0 & 4 & -3 & 3 & 5 0 & 0 & -tfrac34 & -tfrac14 & -tfrac34 0 & 0 & 0 & 4 & 0 ]

Passo 7

Agora a matriz está numa forma triangular superior. Fazemos substituição regressiva:
Da última equação:
4x4=0 implies x4=0
Da equação de terceiro nível:
-tfrac34x3 - tfrac14x4 = -tfrac34 implies -tfrac34x3= -tfrac34 implies x3=1

Passo 8

Continuando a regressiva:
Na segunda equação:
4x2-3x3+3x4=5 implies 4x2-3cdot1+3cdot0=5 implies 4x2=8 implies x2=2
Finalmente, na primeira:
x1-x2+2x3-x4=1 implies x1-2+2cdot1-0=1 implies x1=1

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(1,2,1,0)

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