9 Resolva o sistema abaixo pelo método de Gauss.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas pelo método de eliminação de Gauss (ou escalonamento), ou seja, transformar o sistema numa forma triangular superior e depois fazer substituição regressiva.
Passo 2
Primeiro, montamos a matriz aumentada do sistema:
Para facilitar, trocamos a linha 1 com a linha 2 (assim o primeiro pivô fica igual a 1):
Passo 3
Usando o pivô da primeira linha (valor 1 na posição (1,1)), eliminamos as entradas abaixo na primeira coluna:
– Linha 2 ← Linha 2 – 2·Linha 1
– Linha 3 ← Linha 3 – 3·Linha 1
– Linha 4 ← Linha 4 – 4·Linha 1
Isso gera a matriz
– Linha 2 ← Linha 2 – 2·Linha 1
– Linha 3 ← Linha 3 – 3·Linha 1
– Linha 4 ← Linha 4 – 4·Linha 1
Isso gera a matriz
Passo 4
Agora usamos o pivô da segunda linha (valor 4 na posição (2,2)) para zerar abaixo na segunda coluna:
– Linha 3 ← Linha 3 – (5/4)·Linha 2
– Linha 4 ← Linha 4 – (7/4)·Linha 2
Obtendo
– Linha 3 ← Linha 3 – (5/4)·Linha 2
– Linha 4 ← Linha 4 – (7/4)·Linha 2
Obtendo
Passo 5
Para simplificar a terceira etapa, trocamos a linha 3 com a linha 4, pois na linha 4 o pivô de terceiro nível (em x₃) é mais simples:
Passo 6
Eliminamos o termo abaixo do pivô na terceira coluna (posição (3,3)):
– Linha 4 ← Linha 4 – 7·Linha 3
Como (−21/4) – 7·(−3/4)=0 e o lado direito também zera corretamente, chegamos a
– Linha 4 ← Linha 4 – 7·Linha 3
Como (−21/4) – 7·(−3/4)=0 e o lado direito também zera corretamente, chegamos a
Passo 7
Agora a matriz está numa forma triangular superior. Fazemos substituição regressiva:
Da última equação:
Da última equação:
Da equação de terceiro nível:
Passo 8
Continuando a regressiva:
Na segunda equação:
Na segunda equação:
Finalmente, na primeira:
Resposta
(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(1,2,1,0)