Seja T uma transformação linear de R^3 em R^2 definida por:
T(x)=(T1(x), T2(x))
com T1 e T2 transformações lineares de R^3 em R. Mostre que T é transformação linear se e só se T1 e T2 são transformações lineares.

Passo 1

O exercício considera uma aplicação T:R^3toR^2 dada por T(x)=(T1(x),T2(x)), onde T1,T2:R^3toR. O conteúdo da matéria é transformação linear, e vamos usar a definição que diz que T é linear se, para todos u,vinR^3 e todo escalar c, tivermos
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c,T(u)

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que se T é linear então T1 e T2 também são lineares. Como T é linear, temos
T(u+v)=T(u)+T(v)
ou seja
(T1(u+v),T2(u+v))=(T1(u)+T1(v),T2(u)+T2(v))
Comparando componentes, obtemos
T1(u+v)=T1(u)+T1(v),
T2(u+v)=T2(u)+T2(v)
De modo análogo, da homogeneidade T(cu)=cT(u) vem
T1(cu)=cT1(u)
e
T2(cu)=cT2(u)
Logo, T1 e T2 satisfazem aditividade e homogeneidade, isto é, são lineares.

Passo 3

Agora assumimos que T1 e T2 são lineares e mostramos que T herda a linearidade. Para quaisquer u,vinR^3, usando a aditividade de T1 e T2 temos
T(u+v)=(T1(u+v),T2(u+v))=(T1(u)+T1(v),T2(u)+T2(v))=(T1(u),T2(u))+(T1(v),T2(v))=T(u)+T(v)
E para escalar c, pela homogeneidade de cada componente,
T(cu)=(T1(cu),T2(cu))=(cT1(u),cT2(u))=c,(T1(u),T2(u))=cT(u)
Portanto T satisfaz as duas propriedades de linearidade.

Passo 4

Combinando as duas direções, concluímos que T é transformação linear se e somente se T1 e T2 forem transformações lineares.

Resposta

T é transformação linear se e somente se T_1 e T_2 são transformações lineares.

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