Seja T uma transformação linear de
em
definida por:
com
e
transformações lineares de
. Mostre que T é transformação linear se e só se
e
são transformações lineares.
Passo 1
O exercício considera uma aplicação
dada por
, onde
. O conteúdo da matéria é transformação linear, e vamos usar a definição que diz que
é linear se, para todos
e todo escalar
, tivermos
e
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que se
é linear então
e
também são lineares. Como
é linear, temos
ou seja
Comparando componentes, obtemos
De modo análogo, da homogeneidade
vem
e
Logo,
e
satisfazem aditividade e homogeneidade, isto é, são lineares.
Passo 3
Agora assumimos que
e
são lineares e mostramos que
herda a linearidade. Para quaisquer
, usando a aditividade de
e
temos
E para escalar
, pela homogeneidade de cada componente,
Portanto
satisfaz as duas propriedades de linearidade.
Passo 4
Combinando as duas direções, concluímos que
é transformação linear se e somente se
e
forem transformações lineares.
Resposta
T é transformação linear se e somente se T_1 e T_2 são transformações lineares.