Seja
um corpo e seja
. Mostre que
é semelhante sobre
a uma e somente uma matriz que está na forma racional.
Passo 1
O enunciado: temos uma matriz
e queremos provar que existe uma única matriz, dita na forma racional (ou forma canônica de Frobenius), à qual
é semelhante sobre
. O conteúdo envolve o módulo
-gerado por
, polinômios mínimos, invariantes cíclicos e a construção de matrizes companheiras.
Passo 2
Para a existência, interpretamos o espaço vetorial
como um
-módulo, fazendo
agir por
. Pelo Teorema da Decomposição de Módulos de Finitely Generated sobre um PID,
com os polinômios
. Esses
são chamados fatores invariantes ou invariantes cíclicos.
Passo 3
Cada módulo
é gerado por um vetor cíclico e sua ação de
tem matriz, na base canônica, igual à matriz companheira
do polinômio
. Tomando a base que junta as bases de cada
, a matriz de
se torna a matriz bloco-diagonal
Passo 4
Para a unicidade, observamos que os fatores invariantes
são determinados unicamente pelo
-módulo
, isto é, pelos invariantes de Fitting do par
. Logo não há outra forma racional à qual
seja semelhante.
Passo 5
Concluímos então que toda matriz
é semelhante sobre
a uma única matriz bloco-diagonal de matrizes companheiras, denominada forma racional de
.
Resposta
B é semelhante sobre
à matriz bloco-diagonal
onde
são os fatores invariantes de
. Essa forma racional é única.