Seja K um corpo e seja B in Mn(K). Mostre que B é semelhante sobre K a uma e somente uma matriz que está na forma racional.

Passo 1

O enunciado: temos uma matriz Bin Mn( K) e queremos provar que existe uma única matriz, dita na forma racional (ou forma canônica de Frobenius), à qual B é semelhante sobre K. O conteúdo envolve o módulo K[x]-gerado por B, polinômios mínimos, invariantes cíclicos e a construção de matrizes companheiras.

Passo 2

Para a existência, interpretamos o espaço vetorial V= K^n como um K[x]-módulo, fazendo x agir por B. Pelo Teorema da Decomposição de Módulos de Finitely Generated sobre um PID, Vcongoplusi=1^r K[x]/(fi) com os polinômios f1mid f2midcdotsmid fr. Esses fi são chamados fatores invariantes ou invariantes cíclicos.

Passo 3

Cada módulo K[x]/(fi) é gerado por um vetor cíclico e sua ação de x tem matriz, na base canônica, igual à matriz companheira C(fi) do polinômio fi. Tomando a base que junta as bases de cada K[x]/(fi), a matriz de B se torna a matriz bloco-diagonal
diagl(C(f1),C(f2),dots,C(fr)r)

Passo 4

Para a unicidade, observamos que os fatores invariantes f1,dots,fr são determinados unicamente pelo K[x]-módulo V, isto é, pelos invariantes de Fitting do par (V,B). Logo não há outra forma racional à qual B seja semelhante.

Passo 5

Concluímos então que toda matriz B é semelhante sobre K a uma única matriz bloco-diagonal de matrizes companheiras, denominada forma racional de B.

Resposta

B é semelhante sobre K à matriz bloco-diagonal
diagl(C(f1),C(f2),dots,C(fr)r)
onde f1mid f2midcdotsmid fr são os fatores invariantes de B. Essa forma racional é única.

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