Resolva o sistema de congruências lineares abaixo:
lx equiv 9(bmod 33) x equiv 3(bmod 21)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros x que satisfazem o sistema de congruências
x equiv 9 pmod33, x equiv 3 pmod21
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Chinês dos Resíduos na sua forma geral, que exige verificar a existência de solução quando os módulos não são coprimos e depois resolver uma congruência linear para parametrizar a solução.

Passo 2

Calculemos o máximo divisor comum entre os módulos:
gcd(33,21)=3
Para que exista solução é preciso que a diferença dos restos seja divisível por 3. Como
9 - 3 = 6
e 6 é divisível por 3, o sistema é compatível.

Passo 3

Parametrizamos a primeira congruência escrevendo
x = 9 + 33t,
onde t é um inteiro qualquer.

Passo 4

Substituímos em x equiv 3pmod21:
9 + 33t equiv 3 pmod21 Longrightarrow 33t equiv -6 equiv 15 pmod21
Como 33equiv12pmod21, isso vira
12t equiv 15 pmod21
Note que gcd(12,21)=3 e 3mid15, então dividimos tudo por 3:
4t equiv 5 pmod7
O inverso de 4 módulo 7 é 2 (pois 4cdot2=8equiv1pmod7), logo
t equiv 2cdot5 = 10 equiv 3 pmod7

Passo 5

Daí t = 3 + 7k, com kinZ. Voltando para x:
x = 9 + 33(3 + 7k) = 9 + 99 + 231k = 108 + 231k

Passo 6

Portanto, todas as soluções são dadas por
x equiv 108 pmod231

Resposta

xequiv 108pmod231

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