Resolva o sistema de congruências lineares abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os inteiros
que satisfazem o sistema de congruências
O conteúdo que vamos usar é o Teorema Chinês dos Resíduos na sua forma geral, que exige verificar a existência de solução quando os módulos não são coprimos e depois resolver uma congruência linear para parametrizar a solução.
Passo 2
Calculemos o máximo divisor comum entre os módulos:
Para que exista solução é preciso que a diferença dos restos seja divisível por
. Como
e
é divisível por
, o sistema é compatível.
Passo 3
Parametrizamos a primeira congruência escrevendo
onde
é um inteiro qualquer.
Passo 4
Substituímos em
:
Como
, isso vira
Note que
e
, então dividimos tudo por
:
O inverso de
módulo
é
(pois
), logo
Passo 5
Daí
, com
. Voltando para
:
Passo 6
Portanto, todas as soluções são dadas por