Seja T: R^2 R^2 o operador linear cuja matriz canônica é A=[rr4 & 2 3 & -1].
Determine os autovalores de A.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica é
A = 4 & 2[6pt]3 & -1
e pede seus autovalores. Para isso, vamos usar o conceito de polinômio característico, que é dado por det(A - lambda I)=0.]

Passo 2

Formamos o determinante de A - lambda I:
det!4-lambda & 2[3pt]3 & -1-lambda = (4-lambda)(-1-lambda) - 2cdot3
Igualamos a zero para obter o polinômio característico.]

Passo 3

Expandindo e simplificando,
(4-lambda)(-1-lambda) - 6 = -(4-lambda)(1+lambda) - 6 = lambda^2 - 3lambda -10
Logo o polinômio característico é
lambda^2 - 3lambda -10 = 0
O discriminante é De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot(-10) = 9 + 40 = 49, e as raízes são
lambda = 3 pm raiz492 = 3 pm 72,
isto é, lambda1 = 5 e lambda2 = -2.

Resposta

Os autovalores de A são lambda1 = 5 e lambda2 = -2.

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