Solve the IVP. Show the steps of derivation, beginning with the general solution.
y^prime=(x+y-2)^2, y(0)=2
(Set v=x+y-2 )

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' = (x + y - 2)^2,
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é resolução de EDOs separáveis via mudança de variável. Vamos usar a substituição sugerida
v = x + y - 2

Passo 2

Da definição v = x + y - 2 segue
y = v - x + 2
e, derivando ambos os lados em relação a x,
y' = v' - 1

Passo 3

Substituindo y e y' na EDO original,
v' - 1 = v^2
isto é,
v' = v^2 + 1
Esta é uma EDO separável em v e x.

Passo 4

Separemos variáveis e integremos:
dvv^2 + 1 = dx
Integrando,
arctan(v) = x + C,
onde C é constante arbitrária. Logo a solução geral em v é
v = tanl(x + Cr)

Passo 5

Voltando a y, temos
y = v - x + 2 = -x + 2 + tanl(x + Cr)
Esta é a solução geral da EDO original.

Passo 6

Aplicamos y(0)=2:
2 = -0 + 2 + tan(C) Longrightarrow tan(C)=0 Longrightarrow C = 0
(ou C=npi, mas escolhemos C=0 para a solução particular contínua). Assim
y(x) = -x + 2 + tan(x)

Resposta

boxedy(x) = 2 - x + tan(x)

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