Resolva o sistema de equações dado usando o método de eliminação de Gauss ou o método de eliminação de Gauss-Jordan
lx1-3 x2-2 x3=0 -x1+2 x2+x3=0 2 x1+4 x2+6 x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O sistema que temos é:
l x1 - 3x2 - 2x3 = 0 - x1 + 2x2 + x3 = 0 2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
Aqui, estamos lidando com três equações lineares com três incógnitas ( x1, x2 e x3). O método de eliminação de Gauss vai nos ajudar a simplificar esse sistema passo a passo para encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita aplicar as operações de linha necessárias para resolver o sistema. A matriz aumentada fica assim:
1 & -3 & -2 & | & 0 -1 & 2 & 1 & | & 0 2 & 4 & 6 & | & 0

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde os elementos abaixo da diagonal principal sejam zeros. Para isso, vamos usar operações de linha, que incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra linha.

Passo 4

Vamos começar eliminando o elemento abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna). Para eliminar o -1 na segunda linha, primeiro adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1
1 & -3 & -2 & | & 0 0 & -1 & -1 & | & 0 2 & 4 & 6 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 2 na terceira linha, primeira coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - 2 \times Linha 1
1 & -3 & -2 & | & 0 0 & -1 & -1 & | & 0 0 & 10 & 10 & | & 0

Passo 6

Em seguida, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento na terceira linha e segunda coluna seja zero. Para isso, vamos somar 10 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 10 \times Linha 2
1 & -3 & -2 & | & 0 0 & -1 & -1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Agora, nossa matriz está na forma triangular. Podemos escrever as equações correspondentes:
x1 - 3x2 - 2x3 = 0 - x2 - x3 = 0 0 = 0
A última equação 0 = 0 não nos dá nova informação, então focamos nas duas primeiras.

Passo 8

Vamos resolver a segunda equação para expressar uma variável em termos da outra. Da segunda equação:
- x2 - x3 = 0 implies x2 = -x3
Agora, substituímos x2 = -x3 na primeira equação:
x1 - 3(-x3) - 2x3 = 0 implies x1 + 3x3 - 2x3 = 0 implies x1 + x3 = 0 implies x1 = -x3

Passo 9

Agora, temos:
x1 = -x3 x2 = -x3
Isso significa que x1 e x2 são ambos iguais a -x3, onde x3 pode ser qualquer número real. Como temos infinitas soluções, podemos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre, que chamaremos de t:
x3 = t x2 = -t x1 = -t

Resposta

As soluções do sistema são todas as tripletas (x1, x2, x3) onde x1 = -t, x2 = -t e x3 = t, com t sendo um número real qualquer. Em forma paramétrica:
(x1, x2, x3) = (-t, -t, t) para todo t in R

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