Resolva o sistema de equações dado usando o método de eliminação de Gauss ou o método de eliminação de Gauss-Jordan
l2 w+3 x-y+4 z=0 3 w-x+z=1 3 w-4 x+y-z=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O que a gente tem aqui são três equações com quatro variáveis: w, x, y e z. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos a resolver sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer operações para simplificar e encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada é uma forma organizada das equações que facilita o uso da eliminação de Gauss. Ela inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Nosso sistema fica assim:
2 & 3 & -1 & 4 & | & 0 3 & -1 & 0 & 1 & | & 1 3 & -4 & 1 & -1 & | & 2

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar as variáveis para simplificar a matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde podemos facilmente encontrar os valores das variáveis. Vamos começar eliminando o w das segunda e terceira equações.
Primeiro, mantemos a primeira equação como está:
2 & 3 & -1 & 4 & | & 0 3 & -1 & 0 & 1 & | & 1 3 & -4 & 1 & -1 & | & 2

Passo 4

Vamos eliminar o w da segunda equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 32 e subtraímos da segunda equação:
Nova segunda equação = Segunda equação - 32 times Primeira equação çãçãçã
Calculando:
3 - 32 times 2 = 3 - 3 = 0 -1 - 32 times 3 = -1 - 92 = -112 0 - 32 times (-1) = 0 + 32 = 32 1 - 32 times 4 = 1 - 6 = -5 1 - 32 times 0 = 1 - 0 = 1
Então, a nova segunda equação é:
0w - 112x + 32y - 5z = 1

Passo 5

Agora, vamos eliminar o w da terceira equação. Multiplicamos a primeira equação por 32 e subtraímos da terceira equação:
Nova terceira equação = Terceira equação - 32 times Primeira equação çãçãçã
Calculando:
3 - 32 times 2 = 3 - 3 = 0 -4 - 32 times 3 = -4 - 92 = -172 1 - 32 times (-1) = 1 + 32 = 52 -1 - 32 times 4 = -1 - 6 = -7 2 - 32 times 0 = 2 - 0 = 2
Então, a nova terceira equação é:
0w - 172x + 52y - 7z = 2

Passo 6

Agora, nossa matriz fica assim:
2 & 3 & -1 & 4 & | & 0 0 & -112 & 32 & -5 & | & 1 0 & -172 & 52 & -7 & | & 2
Vamos simplificar multiplicando a segunda equação por -211 para facilitar os cálculos:
Nova segunda equação = -211 times Segunda equação çãçã
Calculando:
0w + x - 311y + 1011z = -211
Então, a segunda equação simplificada é:
x - 311y + 1011z = -211

Passo 7

Vamos usar a segunda equação simplificada para eliminar o x da terceira equação. Primeiro, expressamos x em termos das outras variáveis:
x = 311y - 1011z - 211
Agora, substituímos esse valor de x na terceira equação original:
-172x + 52y - 7z = 2
Substituindo x:
-172(311y - 1011z - 211) + 52y - 7z = 2

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
-172 times 311y + 172 times 1011z + 172 times 211 + 52y - 7z = 2
Calculando:
-5122y + 17022z + 3422 + 52y - 7z = 2
Simplificando os termos:
(-5122 + 5522)y + (17022 - 15422)z + 3422 = 2
422y + 1622z + 3422 = 2
Simplificando ainda mais:
211y + 811z + 1711 = 2

Passo 9

Multiplicando todos os termos por 11 para eliminar as frações:
2y + 8z + 17 = 22
Subtraindo 17 de ambos os lados:
2y + 8z = 5
Podemos simplificar dividindo por 2:
y + 4z = 52

Passo 10

Agora, temos as seguintes equações simplificadas:
  1. x = 311y - 1011z - 211
  2. y + 4z = 52
  3. 2w + 3x - y + 4z = 0
Vamos resolver a segunda equação para y:
y = 52 - 4z

Passo 11

Agora, substituímos y na expressão de x:
x = 311(52 - 4z) - 1011z - 211
Distribuindo:
x = 1522 - 1211z - 1011z - 211
Somando os termos semelhantes:
x = 1522 - 2211z - 211
Convertendo 2211 para fracional:
x = 1522 - 2z - 211
Colocando tudo com denominador 22:
x = 1522 - 4422z - 422
Simplificando:
x = 1122 - 4422z
x = 12 - 2z

Passo 12

Por fim, vamos encontrar w usando a terceira equação original:
2w + 3x - y + 4z = 0
Substituindo x e y:
2w + 3(12 - 2z) - (52 - 4z) + 4z = 0
Distribuindo:
2w + 32 - 6z - 52 + 4z + 4z = 0
Somando os termos semelhantes:
2w - 6z + 4z + 4z + 32 - 52 = 0
2w + 2z - 1 = 0
Isolando w:
2w = -2z + 1 w = -z + 12

Resposta

As soluções do sistema são:
w = -z + 12, x = 12 - 2z, y = 52 - 4z, z é um número real livre éú
Isso significa que z pode assumir qualquer valor real, e as outras variáveis dependem de z.

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