Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
Temos o sistema de EDOs de primeira ordem:
,
com condições iniciais
,
. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial
com
e
[\nA = \n].
O polinômio característico é , de onde obtemos
com multiplicidade 2.
[\nA =
O polinômio característico é
Passo 3
Como há valor repetido e a matriz não é diagonalizável, encontramos o autovetor
resolvendo
[\n(A +3I)v = 0\n]
que leva a . Em seguida achamos o vetor generalizado
resolvendo
[\n(A +3I)w = v\n]
por exemplo .
[\n(A +3I)v = 0\n]
que leva a
[\n(A +3I)w = v\n]
por exemplo
Passo 4
Para valor próprio repetido e vetor generalizado, a solução geral é
[\n\mathbf{X}(t) = c_1 e^{-3t}v + c_2 e^{-3t}(t v + w).\n]
Escrevendo as componentes:
[\nx(t) = e^{-3t}(c_1 + c_2 t),\quad y(t) = e^{-3t}(-2c_1 -2c_2 t - c_2).\n]
[\n\mathbf{X}(t) = c_1 e^{-3t}v + c_2 e^{-3t}(t v + w).\n]
Escrevendo as componentes:
[\nx(t) = e^{-3t}(c_1 + c_2 t),\quad y(t) = e^{-3t}(-2c_1 -2c_2 t - c_2).\n]
Passo 5
Aplicamos
e
:
[\n0 = e^{-3}(c_1 + c_2),\quad 1 = e^{-3}(-2c_1 -3c_2).\n]
Daí e
, resultando em
,
. Substituindo de volta, obtemos a solução desejada.
[\n0 = e^{-3}(c_1 + c_2),\quad 1 = e^{-3}(-2c_1 -3c_2).\n]
Daí