Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
\left{ l d xd t=-5 x-y d yd t=4 x-y x(1)=0, y(1)=1 \right.

Passo 1

Temos o sistema de EDOs de primeira ordem: dxdt = -5x - y, dydt = 4x - y com condições iniciais x(1)=0, y(1)=1. O conteúdo é resolução de sistemas lineares via autovalores e autovetores.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial X' = AX com X = xy e
[\nA = -5 & -14 & -1\n].
O polinômio característico é det(A - lambda I) = (lambda+5)(lambda+1) - (-1)cdot4 = lambda^2 +6lambda +9, de onde obtemos lambda = -3 com multiplicidade 2.

Passo 3

Como há valor repetido e a matriz não é diagonalizável, encontramos o autovetor v resolvendo
[\n(A +3I)v = 0\n]
que leva a v = (1, -2). Em seguida achamos o vetor generalizado w resolvendo
[\n(A +3I)w = v\n]
por exemplo w = (0, -1).

Passo 4

Para valor próprio repetido e vetor generalizado, a solução geral é
[\n\mathbf{X}(t) = c_1 e^{-3t}v + c_2 e^{-3t}(t v + w).\n]
Escrevendo as componentes:
[\nx(t) = e^{-3t}(c_1 + c_2 t),\quad y(t) = e^{-3t}(-2c_1 -2c_2 t - c_2).\n]

Passo 5

Aplicamos x(1)=0 e y(1)=1:
[\n0 = e^{-3}(c_1 + c_2),\quad 1 = e^{-3}(-2c_1 -3c_2).\n]
Daí c1 + c2 = 0 e -2c1 -3c2 = e^3, resultando em c1 = e^3, c2 = -e^3. Substituindo de volta, obtemos a solução desejada.

Resposta

x(t) = (1 - t)e^3 - 3t, y(t) = (2t - 1)e^3 - 3t

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