Resolva o sistema de equações lineares pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi com erro inferior a 0.5. Analise a convergência. Comparar os resultados e justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
4x + 2y + z = 9 2x + 5y + 2z = 14 x + y + 3z = 6
e pede para resolver pelos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel até que o erro seja inferior a 0,5. O conteúdo aqui é solução iterativa de sistemas lineares e vamos precisar primeiro verificar a convergência.
Passo 2
Para testar a convergência, analisamos a matriz de coeficientes
A = 4 & 2 & 1 2 & 5 & 2 1 & 1 & 3
e verificamos a dominância diagonal linha a linha:
|4| > |2|+|1|, |5| > |2|+|2|, |3| > |1|+|1|
Como em todas as linhas o elemento diagonal é estritamente maior que a soma dos demais, o critério de dominância diagonal estrita é satisfeito e garante a convergência dos dois métodos.
Passo 3
No método de Jacobi isolamos cada variável usando só valores da iteração anterior. As fórmulas são:
Aplicando o mesmo critério de erro, no final da iteração k=2to3 alcançamos
(x,y,z)^(3) approx (0,9726;;2,0431;;0,9948),
com |De<a|inftyapprox0,1732<0,5. Logo, em 3 iterações já satisfazemos o critério.
Passo 7
Comparando os métodos, Jacobi precisou de 7 iterações enquanto Gauss–Seidel levou apenas 3 para o mesmo erro. A razão é que Gauss–Seidel aproveita imediatamente os valores mais recentes, acelerando a convergência em matrizes diagonalmente dominantes.
Resposta
Método de Jacobi: 7 iterações, (x,y,z)approx(1,1745,2,1756,1,1567).
Método de Gauss–Seidel: 3 iterações, (x,y,z)approx(0,9726,2,0431,0,9948).
Gauss–Seidel converge mais rápido pois reutiliza imediatamente os valores atualizados; ambos convergem devido à dominância diagonal estrita.