Resolva o sistema de equações lineares pelos métodos de Gauss-Seidel e Gauss-Jacobi com erro inferior a 0.5. Analise a convergência. Comparar os resultados e justificar sua resposta.
c4 x+2 y+z=9 2 x+5 y+2 z=14 x+y+3 z=6

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
4x + 2y + z = 9 2x + 5y + 2z = 14 x + y + 3z = 6
e pede para resolver pelos métodos iterativos de Jacobi e Gauss–Seidel até que o erro seja inferior a 0,5. O conteúdo aqui é solução iterativa de sistemas lineares e vamos precisar primeiro verificar a convergência.

Passo 2

Para testar a convergência, analisamos a matriz de coeficientes
A = 4 & 2 & 1 2 & 5 & 2 1 & 1 & 3
e verificamos a dominância diagonal linha a linha:
|4| > |2|+|1|, |5| > |2|+|2|, |3| > |1|+|1|
Como em todas as linhas o elemento diagonal é estritamente maior que a soma dos demais, o critério de dominância diagonal estrita é satisfeito e garante a convergência dos dois métodos.

Passo 3

No método de Jacobi isolamos cada variável usando só valores da iteração anterior. As fórmulas são:
x^(k+1) = 9 - 2,y^(k) - z^(k)4, y^(k+1) = 14 - 2,x^(k) - 2,z^(k)5, z^(k+1) = 6 - x^(k) - y^(k)3
Adotamos o palpite inicial l(x^(0),y^(0),z^(0)r) = (0,0,0).

Passo 4

Iteramos até que
|De<a|infty = maxl(|x^(k+1)-x^(k)|,;|y^(k+1)-y^(k)|,;|z^(k+1)-z^(k)|r) < 0,5
Após calcular sucessivamente, em k=7 obtemos
(x,y,z)^(7) approx (1,1745;;2,1756;;1,1567),
com |De<a|inftyapprox0,4185<0,5. É a primeira iteração que satisfaz o critério.

Passo 5

No método de Gauss–Seidel usamos valores já atualizados na mesma iteração. As fórmulas são:
x^(k+1) = 9 - 2,y^(k) - z^(k)4, y^(k+1) = 14 - 2,x^(k+1) - 2,z^(k)5, z^(k+1) = 6 - x^(k+1) - y^(k+1)3
Mantemos o palpite inicial (0,0,0).

Passo 6

Aplicando o mesmo critério de erro, no final da iteração k=2to3 alcançamos
(x,y,z)^(3) approx (0,9726;;2,0431;;0,9948),
com |De<a|inftyapprox0,1732<0,5. Logo, em 3 iterações já satisfazemos o critério.

Passo 7

Comparando os métodos, Jacobi precisou de 7 iterações enquanto Gauss–Seidel levou apenas 3 para o mesmo erro. A razão é que Gauss–Seidel aproveita imediatamente os valores mais recentes, acelerando a convergência em matrizes diagonalmente dominantes.

Resposta

Método de Jacobi: 7 iterações, (x,y,z)approx(1,1745,2,1756,1,1567).
Método de Gauss–Seidel: 3 iterações, (x,y,z)approx(0,9726,2,0431,0,9948).
Gauss–Seidel converge mais rápido pois reutiliza imediatamente os valores atualizados; ambos convergem devido à dominância diagonal estrita.

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