Resolva o sistema pela fatorac de Cholisky:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear por fatoração de Cholesky:
Informações extraídas do enunciado (tudo que temos para trabalhar):
O objetivo é encontrar o vetor
que satisfaz
, usando a fatoração de Cholesky.]
Passo 2
Breve aula sobre a fatoração de Cholesky (do jeito mais direto e prático):
- Se
é matriz simétrica definida positiva, existe uma matriz triangular inferior com entradas positivas na diagonal tal que
- Escrevemos
com para (triangular inferior). As fórmulas para calcular os elementos de são, para :
e para
:
Aqui
são os elementos de
. Depois de obter
, resolvemos duas substituições triangulares:
-
por substituição à frente (forward) para achar . -
por substituição para trás (backward) para achar .
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso caso.
Passo 3
Primeiro verificamos rapidamente que
é adequada para Cholesky (simétrica e definida positiva). Simetria: claramente
. Para definida positiva, verificamos menores principais:
-
. -
. -
(matriz tridiagonal) pode ser calculada: usando expansão,
Como todos os menores principais são positivos,
é definida positiva e a fatoração de Cholesky existe e é única com diagonais positivas.
Passo 4
Começamos a calcular
usando as fórmulas. Índice
:
Passo 5
Ainda com
, calculamos
e
:
Passo 6
Agora
. Primeiro a diagonal:
Agora
(para
,
):
Passo 7
Finalmente
para
:
Passo 8
Assim a matriz
obtida é
Confere com as entradas que calculamos.]
Passo 9
Agora resolvemos
por substituição à frente. Escrevemos as equações:
-
⇒ -
⇒
Simplificando:
-
. Como , temos
Calculamos
:
Então
Resumindo,
Passo 10
Agora resolvemos
por substituição para trás. Escrevemos as equações (da última para a primeira):
- A última linha dá
⇒ - A segunda linha (de
) é . Como ,
Simplificando:
- A primeira linha é
. Como ,
Observe
. Então