Resolva o sistema pela fatorac de Cholisky:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}=3 \\\\ -x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-3 \\\\ -x_{2}+2 x_{3}=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear por fatoração de Cholesky:
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}-x_{2}=3,\\[4pt] - x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=-3,\\[4pt] - x_{2}+2 x_{3}=1 \end{array}\right.
Informações extraídas do enunciado (tudo que temos para trabalhar):
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar o vetor x=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T} que satisfaz A x=b, usando a fatoração de Cholesky.]

Passo 2

Breve aula sobre a fatoração de Cholesky (do jeito mais direto e prático):
  • Se A é matriz simétrica definida positiva, existe uma matriz triangular inferior L com entradas positivas na diagonal tal que
A = L\,L^{T}.
  • Escrevemos L=(\ell_{ij}) com \ell_{ij}=0 para i<j (triangular inferior). As fórmulas para calcular os elementos de L são, para k=1,\dots,n:
\ell_{kk}=\sqrt{\,a_{kk}-\sum_{s=1}^{k-1}\ell_{ks}^{2}\,},
e para i=k+1,\dots,n:
\ell_{ik}=\frac{1}{\ell_{kk}}\Bigl(a_{ik}-\sum_{s=1}^{k-1}\ell_{is}\ell_{ks}\Bigr).
Aqui a_{ij} são os elementos de A. Depois de obter L, resolvemos duas substituições triangulares:
  1. L y = b por substituição à frente (forward) para achar y.
  2. L^{T} x = y por substituição para trás (backward) para achar x.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso caso.

Passo 3

Primeiro verificamos rapidamente que A é adequada para Cholesky (simétrica e definida positiva). Simetria: claramente A^{T}=A. Para definida positiva, verificamos menores principais:
  • \det\bigl([a_{11}]\bigr)=2>0.
  • \det\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -1 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-(-1)(-1)=4-1=3>0.
  • \det(A) (matriz tridiagonal) pode ser calculada: usando expansão,
\det(A)=4>0.
Como todos os menores principais são positivos, A é definida positiva e a fatoração de Cholesky existe e é única com diagonais positivas.

Passo 4

Começamos a calcular L usando as fórmulas. Índice 1:
\ell_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{2}.

Passo 5

Ainda com k=1, calculamos \ell_{21} e \ell_{31}:
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{\ell_{11}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}, \qquad \ell_{31}=\frac{a_{31}}{\ell_{11}}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0.

Passo 6

Agora k=2. Primeiro a diagonal:
\ell_{22}=\sqrt{\,a_{22}-\ell_{21}^{2}\,} =\sqrt{\,2-\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)^{2}\,} =\sqrt{\,2-\frac{1}{2}\,} =\sqrt{\frac{3}{2}}.
Agora \ell_{32} (para i=3, k=2):
\ell_{32}=\frac{1}{\ell_{22}}\Bigl(a_{32}-\ell_{31}\ell_{21}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{3/2}}\Bigl(-1-0\cdot(-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\Bigr) =\frac{-1}{\sqrt{3/2}}=-\sqrt{\frac{2}{3}}.

Passo 7

Finalmente k=3 para \ell_{33}:
\ell_{33}=\sqrt{\,a_{33}-\ell_{31}^{2}-\ell_{32}^{2}\,} =\sqrt{\,2-0-\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr)^{2}\,} =\sqrt{\,2-\frac{2}{3}\,} =\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.

Passo 8

Assim a matriz L obtida é
L=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 & 0\\[6pt] -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\dfrac{3}{2}} & 0\\[8pt] 0 & -\sqrt{\dfrac{2}{3}} & \dfrac{2}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}.
Confere com as entradas que calculamos.]

Passo 9

Agora resolvemos L y = b por substituição à frente. Escrevemos as equações:
  • \ell_{11} y_{1}=b_{1} y_{1}=\dfrac{b_{1}}{\ell_{11}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}.
  • \ell_{21} y_{1}+\ell_{22} y_{2}=b_{2}
y_{2}=\frac{b_{2}-\ell_{21}y_{1}}{\ell_{22}} =\frac{-3-\bigl(-\frac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3/2}} =\frac{-3+\tfrac{3}{2}}{\sqrt{3/2}} =\frac{-\tfrac{3}{2}}{\sqrt{3/2}}.
Simplificando:
y_{2}=-\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} =-\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{2}.
  • \ell_{31} y_{1}+\ell_{32} y_{2}+\ell_{33} y_{3}=b_{3}. Como \ell_{31}=0, temos
y_{3}=\frac{b_{3}-\ell_{32}y_{2}}{\ell_{33}}.
Calculamos \ell_{32}y_{2}:
\ell_{32}y_{2}=-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\cdot\Bigl(-\frac{\sqrt{6}}{2}\Bigr) =+\frac{1}{2}\sqrt{\tfrac{2}{3}\cdot 6} =+\frac{1}{2}\sqrt{4}=+\frac{2}{2}=1.
Então
y_{3}=\frac{1-1}{\ell_{33}}=0.
Resumindo,
y=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{2}}\\[6pt]-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\\[6pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 10

Agora resolvemos L^{T} x = y por substituição para trás. Escrevemos as equações (da última para a primeira):
  • A última linha dá \ell_{33} x_{3}=y_{3} x_{3}=\dfrac{y_{3}}{\ell_{33}}=0.
  • A segunda linha (de L^{T}) é \ell_{22} x_{2}+\ell_{32} x_{3}=y_{2}. Como x_{3}=0,
x_{2}=\frac{y_{2}}{\ell_{22}} =\frac{-\dfrac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{3/2}}.
Simplificando:
x_{2}=-\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}} =-\frac{\sqrt{12}}{2\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=-1.
  • A primeira linha é \ell_{11} x_{1}+\ell_{21} x_{2}+\ell_{31} x_{3}=y_{1}. Como \ell_{31}=0,
x_{1}=\frac{y_{1}-\ell_{21}x_{2}}{\ell_{11}} =\frac{\dfrac{3}{\sqrt{2}}-\bigl(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\cdot(-1)}{\sqrt{2}}.
Observe \ell_{21}x_{2}=(-\tfrac{1}{\sqrt{2}})\cdot(-1)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}. Então
x_{1}=\frac{\dfrac{3}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} =\frac{\dfrac{2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} =\frac{2}{2}=1.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=0

Exercícios relacionados