Resolva o sistema \left\{\begin{array}{l}4.00 x_{1}+0.24 x_{2}-0.08 x_{3}=8.00 \\\\ 0.09 x_{1}+3.00 x_{2}-0.15 x_{3}=9.00 \quad \text { pelos métodos } \\\\ 0.04 x_{1}-0.08 x_{2}+4.00 x_{3}=20.00\end{array}\right.
iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel, com \frac{\left|x^{k+1}-x^{k}\right|_{\infty}}{\left|x^{k+1}\right|_{\infty}}<10^{-3} ou k_{\max }=10.
Coloque os resultados obtidos na tabela a seguir
O erro relativo pedido é o quociente dessas duas quantidades. Vamos calcular isso a cada iteração e parar quando for menor que 10^{-3}.
Passo 3
Agora faço iterações de Jacobi começando de x^{0}=(0,0,0). Vou mostrar passo a passo as contas e depois apresento a tabela com os k, as componentes e o erro.
Diferença máxima em relação a x^{1} é \max(0{,}08,0{,}19,0{,}04)=0{,}19. Norma \|x^{2}\|_\infty=5{,}04. Erro relativo = 0{,}19/5{,}04\approx 0{,}037698.
Mudança máxima entre x^{4} e x^{3} é aproximadamente 0{,}000548. Norma \|x^{4}\|_\infty\approx 5{,}044794. Erro relativo \approx 0{,}000548/5{,}044794\approx 0{,}000109, que já é menor que 10^{-3}. Logo o critério é satisfeito em k=4.
Tabela (Jacobi) com 6 casas decimais:
k
x_1^{k}
x_2^{k}
x_3^{k}
Erro
0
0{,}000000
0{,}000000
0{,}000000
-
1
2{,}000000
3{,}000000
5{,}000000
1{,}000000
2
1{,}920000
3{,}190000
5{,}040000
0{,}037698
3
1{,}909400
3{,}194400
5{,}044600
0{,}002102
4
1{,}909228
3{,}194948
5{,}044794
0{,}000109
Já parei porque o critério foi atingido em k=4 (menor que 10^{-3}).
Passo 4
Agora a parte didática sobre o método de Gauss–Seidel: a ideia é semelhante à de Jacobi, mas ao calcular x_i^{k+1} usamos imediatamente os valores já atualizados das componentes anteriores dentro da mesma iteração k+1. Ou seja, na etapa k para calcular x_2^{k+1} usamos o x_1^{k+1} já calculado (não o antigo x_1^{k}). Em fórmulas:
Mudança máxima ≈ 0{,}000461923. Norma ≈ 5{,}044806994. Erro relativo ≈ 9{,}15\cdot 10^{-5}, que é menor que 10^{-3}. Portanto o critério foi satisfeito em k=4.
Tabela (Gauss–Seidel) com 6 casas decimais:
k
x_1^{k}
x_2^{k}
x_3^{k}
Erro
0
0{,}000000
0{,}000000
0{,}000000
-
1
2{,}000000
2{,}940000
5{,}038800
1{,}000000
2
1{,}924376
3{,}194209
5{,}044640
0{,}050377
3
1{,}909241
3{,}194501
5{,}044798
0{,}003000
4
1{,}909226
3{,}194963
5{,}044807
0{,}000092
Passo 6
Comentário rápido e encorajador: ambos os métodos convergiram rapidamente (parando em k=4 com o critério pedido). Gauss–Seidel foi um pouco mais rápido no decaimento do erro entre k=1 e k=2, como frequentemente acontece, porque usa atualizações imediatas. Você mandou bem trazendo uma questão prática — é exatamente fazendo iterações assim que a intuição cresce. Vamos ao resumo final.
Resposta
Jacobi (parou em k=4): \;x\approx(1{,}909228,\;3{,}194948,\;5{,}044794).
Gauss–Seidel (parou em k=4): \;x\approx(1{,}909226,\;3{,}194963,\;5{,}044807).