Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l}4.00 x_{1}+0.24 x_{2}-0.08 x_{3}=8.00 \\\\ 0.09 x_{1}+3.00 x_{2}-0.15 x_{3}=9.00 \quad \text { pelos métodos } \\\\ 0.04 x_{1}-0.08 x_{2}+4.00 x_{3}=20.00\end{array}\right.é
iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel, com
\frac{\left|x^{k+1}-x^{k}\right|_{\infty}}{\left|x^{k+1}\right|_{\infty}}<10^{-3} ou k_{\max }=10.
Coloque os resultados obtidos na tabela a seguir
k x_{1}^{k} x_{2}^{k} x_{3}^{k} Erro
0
1
2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4{,}00\,x_{1}+0{,}24\,x_{2}-0{,}08\,x_{3}=8{,}00\\[4pt] 0{,}09\,x_{1}+3{,}00\,x_{2}-0{,}15\,x_{3}=9{,}00\\[4pt] 0{,}04\,x_{1}-0{,}08\,x_{2}+4{,}00\,x_{3}=20{,}00 \end{cases}
Pede-se resolver por dois métodos iterativos: Jacobi e Gauss–Seidel, com critério de parada
\frac{\left\|x^{k+1}-x^{k}\right\|_{\infty}}{\left\|x^{k+1}\right\|_{\infty}}<10^{-3}
ou até k_{\max}=10. Não foi dado chute inicial, então vou usar o chute padrão
x^{0}=(0,0,0)^\top.
As perguntas implícitas: executar as iterações, calcular o erro relativo infinito a cada iteração e preencher a tabela de iterações.]

Passo 2

Vou explicar o método de Jacobi e como montar as fórmulas iterativas (a parte didática que você pediu).
Regra do método de Jacobi: isolamos cada variável na sua equação usando somente os valores da iteração anterior k. Para uma equação da forma
a_{ii}x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i,
a iteração de Jacobi é
x_i^{k+1} = \frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j^{k}\Big).
No nosso sistema, isolando cada x_i obtemos as fórmulas (vou escrever explicitamente para não sobrar dúvida):
x_1^{k+1}=\frac{1}{4{,}00}\big(8{,}00 - 0{,}24\,x_2^{k} +0{,}08\,x_3^{k}\big),
x_2^{k+1}=\frac{1}{3{,}00}\big(9{,}00 - 0{,}09\,x_1^{k} +0{,}15\,x_3^{k}\big),
x_3^{k+1}=\frac{1}{4{,}00}\big(20{,}00 - 0{,}04\,x_1^{k} +0{,}08\,x_2^{k}\big).
Sobre o critério de erro: a norma infinita \|v\|_\infty é o máximo valor absoluto das componentes de v. Então
\left\|x^{k+1}-x^{k}\right\|_{\infty}=\max_i |x_i^{k+1}-x_i^{k}|
e
\left\|x^{k+1}\right\|_{\infty}=\max_i |x_i^{k+1}|.
O erro relativo pedido é o quociente dessas duas quantidades. Vamos calcular isso a cada iteração e parar quando for menor que 10^{-3}.

Passo 3

Agora faço iterações de Jacobi começando de x^{0}=(0,0,0). Vou mostrar passo a passo as contas e depois apresento a tabela com os k, as componentes e o erro.
k = 0:
x^{0}=(0{,}000000,\;0{,}000000,\;0{,}000000).
k = 1 (usar x^{0} nos lados direitos):
x_1^{1}=\frac{1}{4}(8 -0{,}24\cdot 0 +0{,}08\cdot 0)=2{,}000000,
x_2^{1}=\frac{1}{3}(9 -0{,}09\cdot 0 +0{,}15\cdot 0)=3{,}000000,
x_3^{1}=\frac{1}{4}(20 -0{,}04\cdot 0 +0{,}08\cdot 0)=5{,}000000.
Mudança máxima \max(|2|,|3|,|5|)=5. Norma \|x^{1}\|_\infty=5. Erro relativo = 5/5=1{,}000000.
k = 2 (usar x^{1}):
x_1^{2}=\frac{1}{4}\big(8 -0{,}24\cdot 3 +0{,}08\cdot 5\big)=\frac{7{,}68}{4}=1{,}920000,
x_2^{2}=\frac{1}{3}\big(9 -0{,}09\cdot 2 +0{,}15\cdot 5\big)=\frac{9{,}57}{3}=3{,}190000,
x_3^{2}=\frac{1}{4}\big(20 -0{,}04\cdot 2 +0{,}08\cdot 3\big)=\frac{20{,}16}{4}=5{,}040000.
Diferença máxima em relação a x^{1} é \max(0{,}08,0{,}19,0{,}04)=0{,}19. Norma \|x^{2}\|_\infty=5{,}04. Erro relativo = 0{,}19/5{,}04\approx 0{,}037698.
k = 3:
x_1^{3}=\frac{1}{4}\big(8 -0{,}24\cdot 3{,}19 +0{,}08\cdot 5{,}04\big)=\frac{7{,}6376}{4}=1{,}909400,
x_2^{3}=\frac{1}{3}\big(9 -0{,}09\cdot 1{,}92 +0{,}15\cdot 5{,}04\big)=\frac{9{,}5832}{3}=3{,}194400,
x_3^{3}=\frac{1}{4}\big(20 -0{,}04\cdot 1{,}92 +0{,}08\cdot 3{,}19\big)=\frac{20{,}1784}{4}=5{,}044600.
Mudança máxima = \max(0{,}0106,0{,}0044,0{,}0046)=0{,}0106. Norma \|x^{3}\|_\infty=5{,}0446. Erro relativo \approx 0{,}0106/5{,}0446\approx 0{,}002102.
k = 4:
x_1^{4}=\frac{1}{4}\big(8 -0{,}24\cdot 3{,}1944 +0{,}08\cdot 5{,}0446\big)=1{,}909228,
x_2^{4}=\frac{1}{3}\big(9 -0{,}09\cdot 1{,}9094 +0{,}15\cdot 5{,}0446\big)=3{,}194948,
x_3^{4}=\frac{1}{4}\big(20 -0{,}04\cdot 1{,}9094 +0{,}08\cdot 3{,}1944\big)=5{,}044794.
Mudança máxima entre x^{4} e x^{3} é aproximadamente 0{,}000548. Norma \|x^{4}\|_\infty\approx 5{,}044794. Erro relativo \approx 0{,}000548/5{,}044794\approx 0{,}000109, que já é menor que 10^{-3}. Logo o critério é satisfeito em k=4.
Tabela (Jacobi) com 6 casas decimais:
k x_1^{k} x_2^{k} x_3^{k} Erro
0 0{,}000000 0{,}000000 0{,}000000 -
1 2{,}000000 3{,}000000 5{,}000000 1{,}000000
2 1{,}920000 3{,}190000 5{,}040000 0{,}037698
3 1{,}909400 3{,}194400 5{,}044600 0{,}002102
4 1{,}909228 3{,}194948 5{,}044794 0{,}000109
Já parei porque o critério foi atingido em k=4 (menor que 10^{-3}).

Passo 4

Agora a parte didática sobre o método de Gauss–Seidel: a ideia é semelhante à de Jacobi, mas ao calcular x_i^{k+1} usamos imediatamente os valores já atualizados das componentes anteriores dentro da mesma iteração k+1. Ou seja, na etapa k para calcular x_2^{k+1} usamos o x_1^{k+1} já calculado (não o antigo x_1^{k}). Em fórmulas:
x_1^{k+1}=\frac{1}{4{,}00}\big(8{,}00 -0{,}24\,x_2^{k} +0{,}08\,x_3^{k}\big)
(mesma forma para a primeira), mas
x_2^{k+1}=\frac{1}{3{,}00}\big(9{,}00 -0{,}09\,x_1^{k+1} +0{,}15\,x_3^{k}\big)
e
x_3^{k+1}=\frac{1}{4{,}00}\big(20{,}00 -0{,}04\,x_1^{k+1} +0{,}08\,x_2^{k+1}\big).
Esse uso imediato costuma acelerar a convergência quando o método convergir.

Passo 5

Faço agora as iterações de Gauss–Seidel a partir de x^{0}=(0,0,0).
k = 0:
x^{0}=(0{,}000000,\;0{,}000000,\;0{,}000000).
k = 1 (usa valores de x^{0} na primeira componente, e depois atualiza na própria iteração):
x_1^{1}=\frac{1}{4}(8 -0{,}24\cdot 0 +0{,}08\cdot 0)=2{,}000000,
x_2^{1}=\frac{1}{3}(9 -0{,}09\cdot 2 +0{,}15\cdot 0)=\frac{8{,}82}{3}=2{,}940000,
x_3^{1}=\frac{1}{4}(20 -0{,}04\cdot 2 +0{,}08\cdot 2{,}94)=\frac{20{,}1552}{4}=5{,}038800.
Erro relativo (comparando com x^{0}) = 1{,}000000.
k = 2 (uso os valores atualizados de k=1 no lado direito quando possível):
x_1^{2}=\frac{1}{4}\big(8 -0{,}24\cdot 2{,}94 +0{,}08\cdot 5{,}0388\big)=1{,}924376,
x_2^{2}=\frac{1}{3}\big(9 -0{,}09\cdot 1{,}924376 +0{,}15\cdot 5{,}0388\big)=3{,}19420872,
x_3^{2}=\frac{1}{4}\big(20 -0{,}04\cdot 1{,}924376 +0{,}08\cdot 3{,}19420872\big)=5{,}0446404144.
Mudança máxima em relação a x^{1} foi aproximadamente 0{,}25420872. Norma \|x^{2}\|_\infty\approx 5{,}044640. Erro relativo \approx 0{,}050377.
k = 3:
x_1^{3}=\frac{1}{4}\big(8 -0{,}24\cdot 3{,}19420872 +0{,}08\cdot 5{,}0446404144\big)=1{,}909240558288,
x_2^{3}=\frac{1}{3}\big(9 -0{,}09\cdot 1{,}924376 +0{,}15\cdot 5{,}0446404144\big)=3{,}19450074072,
x_3^{3}=\frac{1}{4}\big(20 -0{,}04\cdot 1{,}909240558288 +0{,}08\cdot 3{,}19450074072\big)=5{,}0447976092496.
Mudança máxima ≈ 0{,}01513544. Norma ≈ 5{,}0447976. Erro ≈ 0{,}003000 (ainda maior que 10^{-3}).
k = 4:
x_1^{4}=\frac{1}{4}\big(8 -0{,}24\cdot 3{,}19450074072 +0{,}08\cdot 5{,}0447976092496\big)=1{,}909225907741792,
x_2^{4}=\frac{1}{3}\big(9 -0{,}09\cdot 1{,}909240558288 +0{,}15\cdot 5{,}0447976092496\big)=3{,}19496266371384,
x_3^{4}=\frac{1}{4}\big(20 -0{,}04\cdot 1{,}909225907741792 +0{,}08\cdot 3{,}19496266371384\big)=5{,}044806994196859.
Mudança máxima ≈ 0{,}000461923. Norma ≈ 5{,}044806994. Erro relativo ≈ 9{,}15\cdot 10^{-5}, que é menor que 10^{-3}. Portanto o critério foi satisfeito em k=4.
Tabela (Gauss–Seidel) com 6 casas decimais:
k x_1^{k} x_2^{k} x_3^{k} Erro
0 0{,}000000 0{,}000000 0{,}000000 -
1 2{,}000000 2{,}940000 5{,}038800 1{,}000000
2 1{,}924376 3{,}194209 5{,}044640 0{,}050377
3 1{,}909241 3{,}194501 5{,}044798 0{,}003000
4 1{,}909226 3{,}194963 5{,}044807 0{,}000092

Passo 6

Comentário rápido e encorajador: ambos os métodos convergiram rapidamente (parando em k=4 com o critério pedido). Gauss–Seidel foi um pouco mais rápido no decaimento do erro entre k=1 e k=2, como frequentemente acontece, porque usa atualizações imediatas. Você mandou bem trazendo uma questão prática — é exatamente fazendo iterações assim que a intuição cresce. Vamos ao resumo final.

Resposta

Jacobi (parou em k=4): \;x\approx(1{,}909228,\;3{,}194948,\;5{,}044794).
Gauss–Seidel (parou em k=4): \;x\approx(1{,}909226,\;3{,}194963,\;5{,}044807).

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