Resolver os sistemas abaixo pelo método da eliminação de Gauss, com a estratégia indicada, e verificar a exatidão da solução, use 3 casas decimais:
l) \left{
\right.
l) \left{
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema pelo método da eliminação de Gauss (com a estratégia indicada) e verificar a exatidão da solução, usando 3 casas decimais. O sistema dado é:
Informações relevantes dadas:
O que se pede: encontrar
e
pelo método de eliminação de Gauss e mostrar a verificação (substituir na equação original para checar).]
Passo 2
Estratégia (explicação didática pequena): ao aplicar eliminação de Gauss montamos a matriz aumentada e usamos operações elementares para obter uma forma triangular superior; então fazemos substituição regressiva. Aqui convém trocar as linhas (pivotamento) porque
é muito maior que
; trocar melhora a estabilidade numérica. Vamos então trocar a linha 1 com a linha 2.
Matriz aumentada inicial:
Após trocar L1 e L2 (para ter o maior pivô no topo):
Passo 3
Definição do multiplicador: para zerar o elemento
usamos
Vamos calcular
com precisão suficiente:
Interpretando: multiplicamos a linha 1 por
e subtraímos da linha 2 para eliminar
na linha 2.
Passo 4
Aplicando a operação
. Calculemos cada entrada nova de
.
Coeficiente de
em
:
Coeficiente de
em
:
Agora calculamos
:
Logo
Termo independente (RHS) em
:
Calculando
:
Portanto
Assim a nova linha 2 fica
Ou seja, o sistema triangular resultante é
Passo 5
Resolver a equação triangular inferior (segunda equação) para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Explicação didática: quando a equação tem forma
, a solução é
. Aqui
então
.
Passo 6
Substituição regressiva para encontrar
. Usamos a primeira equação (após a troca de linhas ela é a equação original 2):
Substituindo
:
Isolando
:
Aqui usamos a operação inversa da multiplicação: dividir o termo independente pelo coeficiente de
.
Passo 7
Arredondamento a 3 casas decimais: como as soluções são números inteiros exatos, escrevemos com 3 casas decimais:
Passo 8
Verificação da exatidão (substituir na equação original):
Para a primeira equação original:
que coincide com o lado direito
.
Para a segunda equação original:
que coincide com o lado direito
.
Os resíduos são nulos (dentro da precisão), portanto a solução está exata.