Resolver os sistemas abaixo pelo método da eliminação de Gauss, com a estratégia indicada, e verificar a exatidão da solução, use 3 casas decimais:
l) \left{ \begin{array}{c}0.004 x_{1}+15.73 x_{2}=15.77 \\ 0.423 x_{1}-24.72 x_{2}=-20.49\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema pelo método da eliminação de Gauss (com a estratégia indicada) e verificar a exatidão da solução, usando 3 casas decimais. O sistema dado é:
\begin{cases} 0,004\,x_{1}+15,73\,x_{2}=15,77,\\[4pt] 0,423\,x_{1}-24,72\,x_{2}=-20,49. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
a_{11}=0,004,\quad a_{12}=15,73,\quad b_1=15,77,
a_{21}=0,423,\quad a_{22}=-24,72,\quad b_2=-20,49.
O que se pede: encontrar x_1 e x_2 pelo método de eliminação de Gauss e mostrar a verificação (substituir na equação original para checar).]

Passo 2

Estratégia (explicação didática pequena): ao aplicar eliminação de Gauss montamos a matriz aumentada e usamos operações elementares para obter uma forma triangular superior; então fazemos substituição regressiva. Aqui convém trocar as linhas (pivotamento) porque a_{21}=0,423 é muito maior que a_{11}=0,004; trocar melhora a estabilidade numérica. Vamos então trocar a linha 1 com a linha 2.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cc|c} 0,004 & 15,73 & 15,77\\[4pt] 0,423 & -24,72 & -20,49 \end{array}\right]
Após trocar L1 e L2 (para ter o maior pivô no topo):
\left[\begin{array}{cc|c} 0,423 & -24,72 & -20,49\\[4pt] 0,004 & 15,73 & 15,77 \end{array}\right]]

Passo 3

Definição do multiplicador: para zerar o elemento a_{21} usamos
m=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{0,004}{0,423}.
Vamos calcular m com precisão suficiente:
m \approx 0,00945626477\quad(\text{dividindo }0,004\text{ por }0,423).
Interpretando: multiplicamos a linha 1 por m e subtraímos da linha 2 para eliminar x_1 na linha 2.

Passo 4

Aplicando a operação L_2 \leftarrow L_2 - m\,L_1. Calculemos cada entrada nova de L_2.
Coeficiente de x_1 em L_2:
0,004 - m\cdot 0,423 = 0 \quad(\text{deveria ficar zero, e de fato fica numericamente nulo}).
Coeficiente de x_2 em L_2:
15,73 - m\cdot(-24,72)=15,73 + m\cdot 24,72.
Agora calculamos m\cdot 24,72:
m\cdot 24,72 \approx 0,00945626477\cdot 24,72 \approx 0,2337588651.
Logo
15,73 + 0,2337588651 \approx 15,9637588651.
Termo independente (RHS) em L_2:
15,77 - m\cdot(-20,49)=15,77 + m\cdot 20,49.
Calculando m\cdot 20,49:
m\cdot 20,49 \approx 0,00945626477\cdot 20,49 \approx 0,1937588651.
Portanto
15,77 + 0,1937588651 \approx 15,9637588651.
Assim a nova linha 2 fica
\left[\,0\quad,\;15,9637588651\;\middle|\;15,9637588651\,\right].
Ou seja, o sistema triangular resultante é
\begin{cases} 0,423\,x_{1}-24,72\,x_{2}=-20,49,\\[4pt] 0\cdot x_{1}+15,9637588651\,x_{2}=15,9637588651. \end{cases}]

Passo 5

Resolver a equação triangular inferior (segunda equação) para x_2:
15,9637588651\,x_{2}=15,9637588651
Dividindo ambos os lados por 15,9637588651:
x_{2}=1.
Explicação didática: quando a equação tem forma c\,x_{2}=d, a solução é x_{2}=d/c. Aqui d=c então x_{2}=1.

Passo 6

Substituição regressiva para encontrar x_1. Usamos a primeira equação (após a troca de linhas ela é a equação original 2):
0,423\,x_{1}-24,72\,x_{2}=-20,49.
Substituindo x_{2}=1:
0,423\,x_{1}-24,72\cdot 1=-20,49.
Isolando x_{1}:
0,423\,x_{1}=-20,49+24,72=4,23,
x_{1}=\frac{4,23}{0,423}=10.
Aqui usamos a operação inversa da multiplicação: dividir o termo independente pelo coeficiente de x_1.

Passo 7

Arredondamento a 3 casas decimais: como as soluções são números inteiros exatos, escrevemos com 3 casas decimais:
x_{1}=10,000,\qquad x_{2}=1,000.

Passo 8

Verificação da exatidão (substituir na equação original):
Para a primeira equação original:
0,004\cdot x_{1}+15,73\cdot x_{2}=0,004\cdot 10 + 15,73\cdot 1=0,04+15,73=15,77,
que coincide com o lado direito 15,77.
Para a segunda equação original:
0,423\cdot x_{1}-24,72\cdot x_{2}=0,423\cdot 10 -24,72\cdot 1=4,23-24,72=-20,49,
que coincide com o lado direito -20,49.
Os resíduos são nulos (dentro da precisão), portanto a solução está exata.

Resposta

x_{1}=10,000
x_{2}=1,000

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