Verificar, utilizando o teorema do Raio Espectral, se os sistemas abaixo podem ser resolvidos pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel e qual dos métodos a convergência é mais rápida:
\left\{\begin{aligned} x_{1}-3 x_{2} & =-3 \\\ x_{1}+x_{2} & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x_{1}-3x_{2}=-3\\[4pt] x_{1}+x_{2}=3 \end{cases}
e pede que verifiquemos, usando o Teorema do Raio Espectral, se o sistema pode ser resolvido (i.e., se o método converge) pelo método de Jacobi ou pelo método de Gauss–Seidel, e qual dos dois teria convergência mais rápida. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}-3\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
O que queremos: calcular as matrizes de iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel, obter seus autovalores (ou o raio espectral) e aplicar o critério de convergência \rho(B)<1.]

Passo 2

Breve explicação do que vamos usar (aula curta e prática):
  • Se temos um sistema \;A x=b\; com A quadrada, escrevemos A=D+L+U onde:
    • D é a matriz diagonal contendo os elementos diagonais de A,
    • L é a parte estritamente triangular inferior (elementos abaixo da diagonal),
    • U é a parte estritamente triangular superior (elementos acima da diagonal).
  • A matriz de iteração do método de Jacobi é B_{J}=-D^{-1}(L+U).A iteração é x^{(k+1)}=B_{J}x^{(k)}+c. O método converge para a solução para qualquer x^{(0)} se, e somente se, o raio espectral \rho(B_{J})<1.
  • A matriz de iteração de Gauss–Seidel é B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.E novamente a condição de convergência é \rho(B_{GS})<1.
  • O raio espectral \rho(B) é o máximo dos módulos dos autovalores de B. Se \rho(B)<1 o método converge; quanto menor \rho(B), mais rápida (em geral) a convergência.

Passo 3

Vamos decompor A em D, L e U. Para
A=\begin{pmatrix}1 & -3\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}
temos
D=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Confere: D+L+U=A.]

Passo 4

Cálculo da matriz de Jacobi B_{J}.
B_{J}=-D^{-1}(L+U).
Como D=I, D^{-1}=I, então
L+U=\begin{pmatrix}0 & -3\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
logo
B_{J}=-(L+U)=\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar os autovalores de B_{J} e o raio espectral.
Calcule o polinômio característico de B_{J}:
\det(B_{J}-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 3\\[4pt] -1 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^{2}+3.
As raízes são
\lambda=\pm i\sqrt{3}.
Os módulos dos autovalores são \sqrt{3}. Portanto o raio espectral é
\rho(B_{J})=\sqrt{3}\approx1{,}732>1.
Conclusão: pelo critério do raio espectral, o método de Jacobi não converge para este sistema (porque \rho(B_{J})\ge 1).]

Passo 6

Cálculo da matriz de Gauss–Seidel B_{GS}.
B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.
Primeiro calcule D+L:
D+L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
A inversa de uma triangular inferior é também triangular inferior. Podemos calcular diretamente:
(D+L)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix},
porque \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]-1&1\end{pmatrix}=I.
Agora
-U=\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
então
B_{GS}=(D+L)^{-1}(-U)=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix}.
(Mantivemos a definição B_{GS}=-(D+L)^{-1}U.)]

Passo 7

Autovalores de B_{GS} e raio espectral.
A matriz B_{GS}=\begin{pmatrix}0 & 3\\[4pt] 0 & -3\end{pmatrix} é triangular superior, então seus autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_{1}=0,\qquad \lambda_{2}=-3.
O raio espectral é
\rho(B_{GS})=\max\{|0|,|{-3}|\}=3>1.
Conclusão: o método de Gauss–Seidel também não converge para este sistema.]

Passo 8

Comparação e interpretação final (motivação intuitiva e resposta direta):
  • Critério de convergência: precisamos de \rho(B)<1. Encontramos \rho(B_{J})=\sqrt{3}\approx1{,}732 e \rho(B_{GS})=3. Ambos são maiores que 1, portanto nenhum dos métodos converge para este sistema.
  • Se alguém perguntar qual “converge mais rápido”, a pergunta só faz sentido quando ambos convergem. Ainda assim, pelo valor do raio espectral, \rho(B_{J})<\rho(B_{GS}), então o Jacobi diverge menos rapidamente (ou seja, tem menor fator de crescimento dos erros) do que Gauss–Seidel — mas atenção: ambos divergem, então não há convergência em nenhum dos dois.
  • Resumo prático para a prova: calcule B_{J} e B_{GS}, calcule \rho (autovalores), e verifique se \rho<1. Aqui ambos falham.

Resposta

Nenhum dos métodos converge: \rho(B_{J})=\sqrt{3}\approx1{,}732>1 e \rho(B_{GS})=3>1. Portanto não é possível resolver o sistema por Jacobi nem por Gauss–Seidel (ambos divergem); entre os dois, \rho(B_{J})<\rho(B_{GS}) (Jacobi é “menos divergente”), mas ainda assim não converge.

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