Verificar, utilizando o teorema do Raio Espectral, se os sistemas abaixo podem ser resolvidos pelo método de Jacobi ou de Gauss-Seidel e qual dos métodos a convergência é mais rápida:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
e pede que verifiquemos, usando o Teorema do Raio Espectral, se o sistema pode ser resolvido (i.e., se o método converge) pelo método de Jacobi ou pelo método de Gauss–Seidel, e qual dos dois teria convergência mais rápida. Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que queremos: calcular as matrizes de iteração de Jacobi e de Gauss–Seidel, obter seus autovalores (ou o raio espectral) e aplicar o critério de convergência
.]
Passo 2
Breve explicação do que vamos usar (aula curta e prática):
- Se temos um sistema
com quadrada, escrevemos onde: -
é a matriz diagonal contendo os elementos diagonais de , -
é a parte estritamente triangular inferior (elementos abaixo da diagonal), -
é a parte estritamente triangular superior (elementos acima da diagonal).
-
- A matriz de iteração do método de Jacobi é
A iteração é . O método converge para a solução para qualquer se, e somente se, o raio espectral . - A matriz de iteração de Gauss–Seidel é
E novamente a condição de convergência é . - O raio espectral
é o máximo dos módulos dos autovalores de . Se o método converge; quanto menor , mais rápida (em geral) a convergência.
Passo 3
Vamos decompor
em
,
e
. Para
temos
Confere:
.]
Passo 4
Cálculo da matriz de Jacobi
.
Como
,
, então
logo
Passo 5
Encontrar os autovalores de
e o raio espectral.
Calcule o polinômio característico de :
Calcule o polinômio característico de
As raízes são
Os módulos dos autovalores são
. Portanto o raio espectral é
Conclusão: pelo critério do raio espectral, o método de Jacobi não converge para este sistema (porque
).]
Passo 6
Cálculo da matriz de Gauss–Seidel
.
Primeiro calcule
:
A inversa de uma triangular inferior é também triangular inferior. Podemos calcular diretamente:
porque
.
Agora
Agora
então
(Mantivemos a definição
.)]
Passo 7
Autovalores de
e raio espectral.
A matriz
é triangular superior, então seus autovalores são os elementos da diagonal:
O raio espectral é
Conclusão: o método de Gauss–Seidel também não converge para este sistema.]
Passo 8
Comparação e interpretação final (motivação intuitiva e resposta direta):
- Critério de convergência: precisamos de
. Encontramos e . Ambos são maiores que , portanto nenhum dos métodos converge para este sistema. - Se alguém perguntar qual “converge mais rápido”, a pergunta só faz sentido quando ambos convergem. Ainda assim, pelo valor do raio espectral,
, então o Jacobi diverge menos rapidamente (ou seja, tem menor fator de crescimento dos erros) do que Gauss–Seidel — mas atenção: ambos divergem, então não há convergência em nenhum dos dois. - Resumo prático para a prova: calcule
e , calcule (autovalores), e verifique se . Aqui ambos falham.
Resposta
Nenhum dos métodos converge:
e
. Portanto não é possível resolver o sistema por Jacobi nem por Gauss–Seidel (ambos divergem); entre os dois,
(Jacobi é “menos divergente”), mas ainda assim não converge.