Resolva o sistema
\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right],

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] 1\\[4pt] 1 \end{pmatrix}
e pede para encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3}.\n
Informações relevantes que o enunciado dá:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 6 & 4 \\\\ 0 & 4 & 11 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Escolho resolver por eliminação de Gauss (redução a uma matriz triangular superior) seguida de substituição regressiva. Motivo: é um método direto, elementar e muito usado em provas — dá para fazer passo a passo sem calculadora. Vou montar a matriz ampliada (A|\mathbf{b}) e zerar abaixo dos pivôs.

Passo 3

Escrevo a matriz ampliada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 6 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 11 & 1 \end{array}\right].
Primeiro pivô é 2 (entrada (1,1)). Para zerar a entrada (2,1) uso o multiplicador
m_{21}=\frac{1}{2}.
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-m_{21}R_{1}. Calculando cada entrada de R_{2}:
\begin{aligned} \text{col}_1:&\; 1-\tfrac{1}{2}\cdot 2 = 0,\\[4pt] \text{col}_2:&\; 6-\tfrac{1}{2}\cdot 1 = 6-\tfrac{1}{2}=\tfrac{11}{2},\\[4pt] \text{col}_3:&\; 4-\tfrac{1}{2}\cdot 0 = 4,\\[4pt] \text{RHS}:&\; 1-\tfrac{1}{2}\cdot 1 = \tfrac{1}{2}. \end{aligned}
Como R_{3} já tem zero na coluna 1, permanece. A matriz ampliada vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & \frac{11}{2} & 4 & \frac{1}{2}\\[4pt] 0 & 4 & 11 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora o pivô na segunda linha é \frac{11}{2} (entrada (2,2)). Vou zerar a entrada (3,2) usando o multiplicador
m_{32}=\frac{4}{\tfrac{11}{2}}=4\cdot\frac{2}{11}=\frac{8}{11}.
Faço R_{3}\leftarrow R_{3}-m_{32}R_{2}. Calculando:
\begin{aligned} \text{col}_2:&\; 4-\frac{8}{11}\cdot\frac{11}{2}=4-\frac{8}{2}=4-4=0,\\[4pt] \text{col}_3:&\; 11-\frac{8}{11}\cdot 4 = 11-\frac{32}{11}=\frac{121-32}{11}=\frac{89}{11},\\[4pt] \text{RHS}:&\; 1-\frac{8}{11}\cdot\frac{1}{2}=1-\frac{8}{22}=1-\frac{4}{11}=\frac{7}{11}. \end{aligned}
Agora a matriz ampliada está triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & \frac{11}{2} & 4 & \frac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \frac{89}{11} & \frac{7}{11} \end{array}\right].]

Passo 5

Começo a substituição regressiva. Da terceira linha, tenho
\frac{89}{11}x_{3}=\frac{7}{11}.
Isolando x_{3}:
x_{3}=\frac{\tfrac{7}{11}}{\tfrac{89}{11}}=\frac{7}{89}.

Passo 6

Uso a segunda linha para achar x_{2}:
\frac{11}{2}x_{2}+4x_{3}=\frac{1}{2}.
Substituo x_{3}=\frac{7}{89}:
\frac{11}{2}x_{2}=\frac{1}{2}-4\cdot\frac{7}{89}=\frac{1}{2}-\frac{28}{89}.
Faço as contas com frações: \frac{1}{2}=\frac{89}{178} e \frac{28}{89}=\frac{56}{178}, então o numerador é \frac{33}{178}. Assim
x_{2}=\frac{\tfrac{33}{178}}{\tfrac{11}{2}}=\frac{33}{178}\cdot\frac{2}{11}=\frac{66}{1958}=\frac{3}{89}.

Passo 7

Uso a primeira linha para achar x_{1}:
2x_{1}+x_{2}=1.
Substituindo x_{2}=\frac{3}{89}:
2x_{1}=1-\frac{3}{89}=\frac{89-3}{89}=\frac{86}{89},
logo
x_{1}=\frac{86}{89}\cdot\frac{1}{2}=\frac{43}{89}.

Passo 8

Verifico (um check rápido): calculando A\mathbf{x},
\begin{aligned} \text{linha 1: }&2x_{1}+x_{2}=2\cdot\frac{43}{89}+\frac{3}{89}=\frac{86+3}{89}=\frac{89}{89}=1,\\[4pt] \text{linha 2: }&x_{1}+6x_{2}+4x_{3}=\frac{43}{89}+6\cdot\frac{3}{89}+4\cdot\frac{7}{89}=\frac{43+18+28}{89}=\frac{89}{89}=1,\\[4pt] \text{linha 3: }&4x_{2}+11x_{3}=4\cdot\frac{3}{89}+11\cdot\frac{7}{89}=\frac{12+77}{89}=\frac{89}{89}=1. \end{aligned}
Confere com \mathbf{b}, então a solução está correta.]

Resposta

x_{1}=\frac{43}{89},\qquad x_{2}=\frac{3}{89},\qquad x_{3}=\frac{7}{89}

Exercícios relacionados