Verifique que se é possível utilizar a técnica da eliminação de Gauss sem pivoteamento na matriz A (matriz de ordem n ), então
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(U)
onde U é a matriz triangular superior obtida na fatoração L U.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar que, se é possível aplicar a eliminação de Gauss sem pivoteamento à matriz A (de ordem n), então
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(U),
onde U é a matriz triangular superior obtida na fatoração L U.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
  • A é uma matriz quadrada n\times n.
  • A eliminação de Gauss pode ser feita sem pivoteamento em A; isso garante que existe uma fatoração
A = L\,U,
onde L é uma matriz triangular inferior com uns na diagonal (chamamos isso de matriz triangular inferior unitária) e U é uma matriz triangular superior (a matriz obtida ao finalizar a eliminação).
  • Pede-se mostrar que, sob essas condições, o determinante de A é igual ao determinante de U.

Passo 2

O que é essa fatoração A=LU que aparece no enunciado (passo-a-passo do porquê ela surge na eliminação):
  • Durante a eliminação de Gauss, para zerar os elementos abaixo do pivô da coluna k usamos multiplicadores. Para cada linha i>k fazemos a operação
\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{ik}\,\text{linha}_k,
onde l_{ik} é o multiplicador escolhido. Aqui l_{ik} é simplesmente o número que faz o elemento a_{ik} virar zero quando subtraímos l_{ik} vezes a linha k.
  • Essas operações sucessivas podem ser vistas como multiplicações à esquerda por matrizes elementares do tipo triangular inferior. Se chamarmos essas matrizes elementares por E_1,E_2,\dots,E_{m} (cada E_j é invertível e triangular inferior), então aplicar todas as eliminações equivale a multiplicar A por E_m\cdots E_2 E_1 obtendo U:
E_m\cdots E_2 E_1\,A = U.
  • Reescrevendo, como essas E_j são invertíveis, temos
A = (E_m\cdots E_2 E_1)^{-1} U.
  • Definimos então
L := (E_m\cdots E_2 E_1)^{-1}.
Cada E_j é triangular inferior com uns na diagonal, e o inverso de uma triangular inferior unitária também é triangular inferior unitária. Assim, L é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1. Portanto temos de fato a fatoração
A = L\,U,
com L unitária (uns na diagonal) e U triangular superior — exatamente o que aparece no enunciado.

Passo 3

Usamos agora uma propriedade básica e importantíssima dos determinantes: a multiplicatividade.
  • Teorema (propriedade usada): para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y, vale
\det(XY)=\det(X)\,\det(Y).
  • Aplicando essa propriedade à igualdade A=L\,U obtemos
\det(A)=\det(L)\,\det(U).
Expliquei o que usei: \det(\cdot) denota o determinante; L e U são matrizes quadradas de ordem n.

Passo 4

Agora mostramos que \det(L)=1. Para isso usamos outra propriedade bem simples dos determinantes:
  • Propriedade: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
  • Como L é triangular inferior e, além disso, é unitária (cada entrada da diagonal principal é 1), o produto dos elementos da diagonal de L é
\prod_{i=1}^{n} 1 = 1.
  • Portanto
\det(L)=1.
(Se quiser um argumento rápido: expandindo o determinante por permutações ou por desenvolvimento recursivo, as contribuições fora da diagonal necessariamente envolvem zeros de uma triangular, ficando apenas o produto das diagonais.)

Passo 5

Conclusão final juntando os passos anteriores:
  • De A=L\,U e da multiplicatividade dos determinantes (Passo 3) temos \det(A)=\det(L)\det(U).
  • Do Passo 4 temos \det(L)=1.
  • Substituindo obtemos
\det(A)=1\cdot\det(U)=\det(U).
Isso é exatamente o que queríamos verificar.

Passo 6

Exemplo numérico curto (para ver na prática, como reforço): tome
A=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 9\end{pmatrix}.
Eliminação sem pivoteamento: multiplicador l_{21}= \dfrac{4}{2}=2. Então
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},
e de fato A=LU. Calculando determinantes temos \det(L)=1 (produto da diagonal 1\cdot1), \det(U)=2\cdot3=6, e \det(A)=2\cdot9-4\cdot3=18-12=6. Assim \det(A)=\det(U), conferindo o resultado.]

Resposta

\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(U)

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