Verifique que se é possível utilizar a técnica da eliminação de Gauss sem pivoteamento na matriz
(matriz de ordem n ), então
onde
é a matriz triangular superior obtida na fatoração
.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar que, se é possível aplicar a eliminação de Gauss sem pivoteamento à matriz
(de ordem
), então
onde
é a matriz triangular superior obtida na fatoração
.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar:
-
é uma matriz quadrada . - A eliminação de Gauss pode ser feita sem pivoteamento em
; isso garante que existe uma fatoração
onde
é uma matriz triangular inferior com uns na diagonal (chamamos isso de matriz triangular inferior unitária) e
é uma matriz triangular superior (a matriz obtida ao finalizar a eliminação).
- Pede-se mostrar que, sob essas condições, o determinante de
é igual ao determinante de .
Passo 2
O que é essa fatoração
que aparece no enunciado (passo-a-passo do porquê ela surge na eliminação):
- Durante a eliminação de Gauss, para zerar os elementos abaixo do pivô da coluna
usamos multiplicadores. Para cada linha fazemos a operação
onde
é o multiplicador escolhido. Aqui
é simplesmente o número que faz o elemento
virar zero quando subtraímos
vezes a linha
.
- Essas operações sucessivas podem ser vistas como multiplicações à esquerda por matrizes elementares do tipo triangular inferior. Se chamarmos essas matrizes elementares por
(cada é invertível e triangular inferior), então aplicar todas as eliminações equivale a multiplicar por obtendo :
- Reescrevendo, como essas
são invertíveis, temos
- Definimos então
Cada
é triangular inferior com uns na diagonal, e o inverso de uma triangular inferior unitária também é triangular inferior unitária. Assim,
é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a
. Portanto temos de fato a fatoração
com
unitária (uns na diagonal) e
triangular superior — exatamente o que aparece no enunciado.
Passo 3
Usamos agora uma propriedade básica e importantíssima dos determinantes: a multiplicatividade.
- Teorema (propriedade usada): para quaisquer matrizes quadradas compatíveis
e , vale
- Aplicando essa propriedade à igualdade
obtemos
Expliquei o que usei:
denota o determinante;
e
são matrizes quadradas de ordem
.
Passo 4
Agora mostramos que
. Para isso usamos outra propriedade bem simples dos determinantes:
- Propriedade: o determinante de uma matriz triangular (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
- Como
é triangular inferior e, além disso, é unitária (cada entrada da diagonal principal é ), o produto dos elementos da diagonal de é
- Portanto
(Se quiser um argumento rápido: expandindo o determinante por permutações ou por desenvolvimento recursivo, as contribuições fora da diagonal necessariamente envolvem zeros de uma triangular, ficando apenas o produto das diagonais.)
Passo 5
Conclusão final juntando os passos anteriores:
- De
e da multiplicatividade dos determinantes (Passo 3) temos . - Do Passo 4 temos
. - Substituindo obtemos
Isso é exatamente o que queríamos verificar.
Passo 6
Exemplo numérico curto (para ver na prática, como reforço): tome
Eliminação sem pivoteamento: multiplicador
. Então
e de fato
. Calculando determinantes temos
(produto da diagonal
),
, e
. Assim
, conferindo o resultado.]