Resolva o sistema linear
pelo método de Gauss-Jacobi com , usando o erro relativo, norma linha, e quatro casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Jacobi. O sistema que temos é:
O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Vamos precisar da matriz dos coeficientes, do vetor inicial fornecido , e dos parâmetros: erro relativo e precisão de quatro casas decimais.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das incógnitas. Isso nos ajudará a escrever a fórmula para cada variável em função das outras. Vamos reescrever o sistema:
  1. então
  2. então
  3. então

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi utilizando a fórmula obtida para cada variável. Começamos com a estimativa inicial .
A cada iteração, calculamos os novos valores de usando as fórmulas:
Vamos substituir os valores de para encontrar .

Passo 4

Calculando :
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a diferença relativa entre e atende ao critério de erro . Calculamos o erro relativo para cada componente usando a norma linha:
Calculando as diferenças:
Calculando as normas:
Então,
Como o erro ainda é maior que , precisamos realizar mais iterações.

Passo 6

Vamos calcular usando :
Então, .

Passo 7

Verificamos o erro relativo entre e :
Normas:
Erro relativo:
Como o erro relativo agora é menor que , podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com erro relativo menor que 5% e quatro casas decimais, é:

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