Resolva o sistema linear
l 10 x1+2 x2+x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6
pelo método de Gauss-Jacobi com x^(0)=(c0.7 -1.6 0.6), usando o erro relativo, norma linha, varepsilon=0.05 e quatro casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Jacobi. O sistema que temos é:
l 10 x1+2 x2+x3=7 x1+5 x2+x3=-8 2 x1+3 x2+10 x3=6
O método de Gauss-Jacobi é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Vamos precisar da matriz dos coeficientes, do vetor inicial fornecido x^(0) = ( c 0.7 -1.6 0.6 ) , e dos parâmetros: erro relativo varepsilon = 0.05 e precisão de quatro casas decimais.

Passo 2

Primeiro, precisamos reorganizar cada equação para isolar uma das incógnitas. Isso nos ajudará a escrever a fórmula para cada variável em função das outras. Vamos reescrever o sistema:
  1. 10x1 = 7 - 2x2 - x3 então x1 = 7 - 2x2 - x310
  2. 5x2 = -8 - x1 - x3 então x2 = -8 - x1 - x35
  3. 10x3 = 6 - 2x1 - 3x2 então x3 = 6 - 2x1 - 3x210

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi utilizando a fórmula obtida para cada variável. Começamos com a estimativa inicial x^(0) = ( c 0.7 -1.6 0.6 ) .
A cada iteração, calculamos os novos valores de x1, x2, x3 usando as fórmulas:
x1^(k+1) &= 7 - 2x2^(k) - x3^(k)10 x2^(k+1) &= -8 - x1^(k) - x3^(k)5 x3^(k+1) &= 6 - 2x1^(k) - 3x2^(k)10
Vamos substituir os valores de k = 0 para encontrar x^(1) .

Passo 4

Calculando x^(1) :
x1^(1) &= 7 - 2(-1.6) - 0.610 = 7 + 3.2 - 0.610 = 9.610 = 0.96 x2^(1) &= -8 - 0.7 - 0.65 = -9.35 = -1.86 x3^(1) &= 6 - 2(0.7) - 3(-1.6)10 = 6 - 1.4 + 4.810 = 9.410 = 0.94
Então, x^(1) = ( c 0.96 -1.86 0.94 ) .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a diferença relativa entre x^(1) e x^(0) atende ao critério de erro varepsilon = 0.05 . Calculamos o erro relativo para cada componente usando a norma linha:
Erro Relativo = ||x^(1) - x^(0)||||x^(1)||
Calculando as diferenças:
De<a x1 &= |0.96 - 0.7| = 0.26 De<a x2 &= |-1.86 - (-1.6)| = 0.26 De<a x3 &= |0.94 - 0.6| = 0.34
Calculando as normas:
||x^(1)|| &= |0.96| + |-1.86| + |0.94| = 0.96 + 1.86 + 0.94 = 3.76 ||x^(1) - x^(0)|| &= 0.26 + 0.26 + 0.34 = 0.86
Então,
Erro Relativo = 0.863.76 approx 0.2287 > 0.05
Como o erro ainda é maior que varepsilon = 0.05 , precisamos realizar mais iterações.

Passo 6

Vamos calcular x^(2) usando x^(1) = ( c 0.96 -1.86 0.94 ) :
x1^(2) &= 7 - 2(-1.86) - 0.9410 = 7 + 3.72 - 0.9410 = 9.7810 = 0.978 x2^(2) &= -8 - 0.96 - 0.945 = -9.95 = -1.98 x3^(2) &= 6 - 2(0.96) - 3(-1.86)10 = 6 - 1.92 + 5.5810 = 9.6610 = 0.966
Então, x^(2) = ( c 0.978 -1.98 0.966 ) .

Passo 7

Verificamos o erro relativo entre x^(2) e x^(1) :
De<a x1 &= |0.978 - 0.96| = 0.018 De<a x2 &= |-1.98 - (-1.86)| = 0.12 De<a x3 &= |0.966 - 0.94| = 0.026
Normas:
||x^(2)|| &= 0.978 + 1.98 + 0.966 = 3.924 ||x^(2) - x^(1)|| &= 0.018 + 0.12 + 0.026 = 0.164
Erro relativo:
0.1643.924 approx 0.0418 < 0.05
Como o erro relativo agora é menor que varepsilon = 0.05 , podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Jacobi, com erro relativo menor que 5% e quatro casas decimais, é:
x approx ( c 0.9780 -1.9800 0.9660 )

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