Resolva os sistemas lineares triangulares abaixo:
a) \left\{\begin{aligned} 1 x_{1} & =3 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2} & =2 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+4 x_{3} & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear triangular inferior, ou seja, cada equação envolve uma variável nova a partir da anterior. O tema aqui é substituição progressiva (forward substitution): primeiro achamos x_1, depois usamos esse valor para encontrar x_2, e por fim x_3.

Passo 2

A primeira equação é
1\;x_{1} = 3.
Logo,
x_{1} = 3.

Passo 3

Substituindo x_{1}=3 na segunda equação
2\,x_{1} + 5\,x_{2} = 2
ficamos com
2\cdot 3 + 5\,x_{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 6 + 5\,x_{2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 5\,x_{2} = 2 - 6 = -4 \quad\Longrightarrow\quad x_{2} = \frac{-4}{5}.

Passo 4

Agora usamos x_{1}=3 e x_{2}=-\tfrac{4}{5} na terceira equação
3\,x_{1} + 6\,x_{2} + 4\,x_{3} = 1
que vira
3\cdot 3 + 6\cdot\Bigl(-\frac{4}{5}\Bigr) + 4\,x_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 9 - \frac{24}{5} + 4\,x_{3} = 1.
Como 9 = \tfrac{45}{5}, temos
\frac{45}{5} - \frac{24}{5} + 4\,x_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{21}{5} + 4\,x_{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4\,x_{3} = 1 - \frac{21}{5} = -\frac{16}{5} \quad\Longrightarrow\quad x_{3} = -\frac{16}{5}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{4}{5}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3}) = \Bigl(3,\,-\tfrac{4}{5},\,-\tfrac{4}{5}\Bigr).

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