Resolva o sistema
usando a fatoração LU de A dada.
3.
3.
Passo 1
O enunciado pede: resolver o sistema
usando a fatoração LU fornecida. Dados relevantes fornecidos:
Pergunta explícita: encontrar
tal que
, usando a fatoração
.
Passo 2
Estratégia e ideia de método (sem detalhar cálculos ainda): como
, escrevemos
Definimos
. Então primeiro resolvemos o sistema triangular inferior
(pelo método chamado “substituição para frente” ou forward substitution). Depois resolvemos o sistema triangular superior
(pelo método chamado “substituição para trás” ou back substitution). Vou explicar cada método enquanto aplico.
Passo 3
Resolver
por substituição para frente.
Explicação do método: se
é matriz triangular inferior com diagonais iguais a
(matriz triangular unitária), então a
-ésima equação tem a forma
ou melhor escrita para cálculo
Isso permite calcular
em ordem crescente sem resolver sistemas simultâneos.
Aqui
Equações (da primeira à terceira):
- Primeira equação:
. Logo
- Segunda equação:
. Usando ,
- Terceira equação:
. Substituindo e ,
Calcule passo a passo:
Então
Portanto
Passo 4
Resolver
por substituição para trás.
Explicação do método: se
é triangular superior, a equação
pode ser resolvida em ordem decrescente: da última incógnita para a primeira. A fórmula geral para a
-ésima incógnita (indo de
para
) é
onde
é o elemento diagonal (temos de dividir por ele).
Aqui
Começamos pela última equação (linha 3):
Dividindo ambos os lados por
,
Agora a segunda equação (linha 2):
Substituindo
,
Finalmente a primeira equação (linha 1):
Substituindo
e
,
Portanto a solução é
Passo 5
Breve verificação rápida (opcional mas útil): calcular
mentalmente para checar se dá
.
Multiplicando
por
:
Linha 1: .
Linha 2: .
Linha 3: .
Linha 1:
Linha 2:
Linha 3:
Obtemos
, portanto a solução confere.]