Resolva o sistema A \mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU de A dada.
3. A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -2 \\\\ -2 & 3 & -4 \\\\ 4 & -3 & 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -\frac{5}{4} & 1\end{array}\right]
\times\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & -6 \\\\ 0 & 0 & -\frac{7}{2} \end{array}\right], \mathbf{b}=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 1 \\\\ 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} usando a fatoração LU fornecida. Dados relevantes fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -2 \\\\ -2 & 3 & -4 \\\\ 4 & -3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -\tfrac{5}{4} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & -6 \\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{2}\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-3 \\\\ 1 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: encontrar \mathbf{x} tal que A\mathbf{x}=\mathbf{b}, usando a fatoração A=LU.

Passo 2

Estratégia e ideia de método (sem detalhar cálculos ainda): como A=LU, escrevemos
LU\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Definimos \mathbf{y}=U\mathbf{x}. Então primeiro resolvemos o sistema triangular inferior
L\mathbf{y}=\mathbf{b}
(pelo método chamado “substituição para frente” ou forward substitution). Depois resolvemos o sistema triangular superior
U\mathbf{x}=\mathbf{y}
(pelo método chamado “substituição para trás” ou back substitution). Vou explicar cada método enquanto aplico.

Passo 3

Resolver L\mathbf{y}=\mathbf{b} por substituição para frente.
Explicação do método: se L é matriz triangular inferior com diagonais iguais a 1 (matriz triangular unitária), então a i-ésima equação tem a forma
y_i + \sum_{j=1}^{i-1} \ell_{ij}y_j = b_i,
ou melhor escrita para cálculo
y_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} \ell_{ij}y_j.
Isso permite calcular y_1,y_2,\dots em ordem crescente sem resolver sistemas simultâneos.
Aqui
L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 0 \\\\ 2 & -\tfrac{5}{4} & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}y_1\\[3pt]y_2\\[3pt]y_3\end{pmatrix}.
Equações (da primeira à terceira):
  1. Primeira equação: \;1\cdot y_1 = -3. Logo
y_1 = -3.
  1. Segunda equação: -1\cdot y_1 + 1\cdot y_2 = 1. Usando y_1=-3,
-1\cdot(-3) + y_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 3 + y_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 1-3 = -2.
  1. Terceira equação: 2\cdot y_1 -\tfrac{5}{4}\cdot y_2 + 1\cdot y_3 = 0. Substituindo y_1=-3 e y_2=-2,
2(-3) -\tfrac{5}{4}(-2) + y_3 = 0.
Calcule passo a passo:
2(-3) = -6,\qquad -\tfrac{5}{4}(-2) = +\tfrac{10}{4} = +\tfrac{5}{2}.
Então
-6 + \tfrac{5}{2} + y_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_3 = 6 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{12}{2}-\tfrac{5}{2} = \tfrac{7}{2}.
Portanto
\mathbf{y}=\begin{pmatrix}-3\\[3pt]-2\\[3pt]\tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver U\mathbf{x}=\mathbf{y} por substituição para trás.
Explicação do método: se U é triangular superior, a equação U\mathbf{x}=\mathbf{y} pode ser resolvida em ordem decrescente: da última incógnita para a primeira. A fórmula geral para a i-ésima incógnita (indo de n para 1) é
x_i = \frac{1}{u_{ii}}\Big(y_i - \sum_{j=i+1}^{n} u_{ij} x_j\Big),
onde u_{ii} é o elemento diagonal (temos de dividir por ele).
Aqui
U=\begin{pmatrix}2 & 1 & -2 \\[4pt]0 & 4 & -6 \\[4pt]0 & 0 & -\tfrac{7}{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\[3pt]x_2\\[3pt]x_3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{y}=\begin{pmatrix}-3\\[3pt]-2\\[3pt]\tfrac{7}{2}\end{pmatrix}.
Começamos pela última equação (linha 3):
-\tfrac{7}{2} x_3 = \tfrac{7}{2}.
Dividindo ambos os lados por -\tfrac{7}{2},
x_3 = \frac{\tfrac{7}{2}}{-\tfrac{7}{2}} = -1.
Agora a segunda equação (linha 2):
4 x_2 -6 x_3 = -2.
Substituindo x_3=-1,
4 x_2 -6(-1) = -2 \quad\Rightarrow\quad 4 x_2 +6 = -2 \quad\Rightarrow\quad 4 x_2 = -8 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -2.
Finalmente a primeira equação (linha 1):
2 x_1 + 1\cdot x_2 -2 x_3 = -3.
Substituindo x_2=-2 e x_3=-1,
2 x_1 + (-2) -2(-1) = -3 \quad\Rightarrow\quad 2 x_1 -2 +2 = -3 \quad\Rightarrow\quad 2 x_1 = -3 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -\tfrac{3}{2}.
Portanto a solução é
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[3pt]-2\\[3pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Breve verificação rápida (opcional mas útil): calcular A\mathbf{x} mentalmente para checar se dá \mathbf{b}.
Multiplicando A por \mathbf{x}:
Linha 1: 2(-\tfrac{3}{2}) + 1(-2) + (-2)(-1) = -3 -2 +2 = -3.
Linha 2: -2(-\tfrac{3}{2}) + 3(-2) + (-4)(-1) = 3 -6 +4 = 1.
Linha 3: 4(-\tfrac{3}{2}) + (-3)(-2) + 0(-1) = -6 +6 +0 = 0.
Obtemos \begin{pmatrix}-3\\[3pt]1\\[3pt]0\end{pmatrix}=\mathbf{b}, portanto a solução confere.]

Resposta

\displaystyle \mathbf{x}=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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