Resolva o sistema rll2 x-y & =k x 2 x-y+z & =k y -2 x+2 y+z & =k z nos casos que k=1 e k=2.

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações lineares em (x,y,z) que depende do parâmetro k. O conteúdo aqui é Álgebra Linear: reconhecer que se trata de encontrar o espaço nulo da matriz A - kI. Para resolver, vamos reescrever as equações de modo a ter todas as incógnitas do mesmo lado e em seguida aplicar eliminação para os valores k=1 e k=2.

Passo 2

Reescrevendo cada equação como “coef scdot variáveis =0”, temos
2x - y - kx = 0, 2x - y + z - ky = 0, -2x + 2y + z - kz = 0
Isto é equivalente a
(2 - k)x - y = 0, 2x - (1 + k)y + z = 0, -2x + 2y + (1 - k)z = 0

Passo 3

Caso
Da primeira equação vem , fica , ou seja .
A terceira é redundante (vira ).
Logo as soluções são

Passo 4

Caso
Da primeira equação vem , sobra , ou seja .
A terceira torna-se , que é a mesma relação .
Portanto as soluções são

Resposta

Para k=1 as soluções são
(x,y,z) = (t,,t,,0),;tinR
Para k=2 as soluções são
(x,y,z) = l(t,,0,,-2tr),;tinR

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