Nos sistemas abaixo, determine o valor de k para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
x+k y+z & =2 k x+y+z & =5 3 x+4 y+z & =10

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear em três equações e três incógnitas com parâmetro k:
x + k,y + z = 2, k,x + y + z = 5, 3x + 4y + z = 10
Para classificar o número de soluções, vamos usar teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando ele é não nulo (solução única) ou nulo (pode dar infinitas ou nenhuma solução) e, nesses últimos casos, analisamos a compatibilidade via combinação linear.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = 1 & k & 1 k & 1 & 1 3 & 4 & 1
e calculamos
det(A) =1cdotdet1&14&1 - kcdotdetk&13&1 +1cdotdetk&13&4
Fazendo as contas,
det(A)=-k^2+7k-6=(k-1)(6-k)

Passo 3

Como det(A)neq0 garante solução única, concluímos que para
kneq1e kneq6
o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 4

Para k=1 temos as duas primeiras equações idênticas no lado esquerdo:
x + y + z =2 e x + y + z =5,
o que é impossível. Logo o sistema é incompatível e não tem solução.

Passo 5

Para k=6 a matriz dos coeficientes também fica singular, mas uma combinação linear das duas primeiras equações não reproduz a terceira no lado dos termos independentes, gerando contradição. Assim, para k=6 também não há solução.

Resposta

(i) Uma única solução para kneq1 e kneq6.
(ii) Não existe valor de k que gere infinitas soluções.
(iii) Nenhuma solução para k=1 ou k=6.

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