Nos sistemas abaixo, determine o valor de para que o sistema tenha:
(i) uma única solução;
(ii) infinitas soluções;
(iii) nenhuma solução.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema linear em três equações e três incógnitas com parâmetro k:
x + k,y + z = 2, k,x + y + z = 5, 3x + 4y + z = 10
Para classificar o número de soluções, vamos usar teoria de sistemas lineares: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando ele é não nulo (solução única) ou nulo (pode dar infinitas ou nenhuma solução) e, nesses últimos casos, analisamos a compatibilidade via combinação linear.
Como det(A)neq0 garante solução única, concluímos que para
kneq1e kneq6
o sistema tem exatamente uma solução.
Passo 4
Para k=1 temos as duas primeiras equações idênticas no lado esquerdo:
x + y + z =2 e x + y + z =5,
o que é impossível. Logo o sistema é incompatível e não tem solução.
Passo 5
Para k=6 a matriz dos coeficientes também fica singular, mas uma combinação linear das duas primeiras equações não reproduz a terceira no lado dos termos independentes, gerando contradição. Assim, para k=6 também não há solução.
Resposta
(i) Uma única solução para kneq1 e kneq6.
(ii) Não existe valor de k que gere infinitas soluções.
(iii) Nenhuma solução para k=1 ou k=6.