Resolva o sistema, usando a Regra de Cramer:
x-2 y+z & =1 2 x+y & =3 y-5 z & =4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer! O que isso significa é que vamos encontrar os valores de x , y e z resolvendo determinantes de matrizes. Para isso, precisamos entender um pouco sobre determinantes e como eles se aplicam aos sistemas lineares.
O sistema que temos é:
x - 2y + z & = 1 2x + y & = 3 y - 5z & = 4
Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante dela, além de substituir cada coluna pelo vetor dos resultados para encontrar cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis em cada equação e montar a matriz dos coeficientes A :
A = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & -5
Note que na segunda equação, o coeficiente de z é 0, já que não aparece.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz A , que chamaremos de De<a . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado pela regra de Sarrus ou pela expansão de cofatores. Vamos usar a expansão de cofatores aqui:
De<a = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Aplicando os valores da matriz A :
De<a = 1 cdot (1 cdot (-5) - 0 cdot 1) - (-2) cdot (2 cdot (-5) - 0 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 0)
De<a = 1 cdot (-5 - 0) - (-2) cdot (-10 - 0) + 1 cdot (2 - 0)
De<a = -5 - 20 + 2 = -23

Passo 4

Agora, vamos encontrar De<ax , que é o determinante da matriz A com a coluna dos x substituída pelo vetor dos resultados. O vetor dos resultados é 1 3 4 .
Ax = 1 & -2 & 1 3 & 1 & 0 4 & 1 & -5
Calculando De<ax :
De<ax = 1 cdot (1 cdot (-5) - 0 cdot 1) - (-2) cdot (3 cdot (-5) - 0 cdot 4) + 1 cdot (3 cdot 1 - 1 cdot 4)
De<ax = 1 cdot (-5 - 0) - (-2) cdot (-15 - 0) + 1 cdot (3 - 4)
De<ax = -5 - 30 -1 = -36

Passo 5

Agora, encontramos x usando a Regra de Cramer:
x = De<axDe<a = -36-23 = 3623 approx 1,565

Passo 6

Vamos repetir o processo para encontrar De<ay , substituindo a coluna dos y pelo vetor dos resultados:
Ay = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 0 0 & 4 & -5
Calculando De<ay :
De<ay = 1 cdot (3 cdot (-5) - 0 cdot 4) - 1 cdot (2 cdot (-5) - 0 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 0)
De<ay = 1 cdot (-15 - 0) - 1 cdot (-10 - 0) + 1 cdot (8 - 0)
De<ay = -15 + 10 + 8 = 3
Então,
y = De<ayDe<a = 3-23 = -323 approx -0,130

Passo 7

Por fim, vamos encontrar De<az , substituindo a coluna dos z pelo vetor dos resultados:
Az = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4
Calculando De<az :
De<az = 1 cdot (1 cdot 4 - 3 cdot 1) - (-2) cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 0)
De<az = 1 cdot (4 - 3) - (-2) cdot (8 - 0) + 1 cdot (2 - 0)
De<az = 1 cdot 1 + 2 cdot 8 + 1 cdot 2 = 1 + 16 + 2 = 19
Então,
z = De<azDe<a = 19-23 = -1923 approx -0,826

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 3623 approx 1,565, y = -323 approx -0,130, z = -1923 approx -0,826

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