Seja E com produto interno lang<=, rang<= Dois vetores u, v in E são ortogonais se lang<= u, vrang<==0. Dizemos que um subconjunto u1, u2, ldots, un subset E é ortogonal se lang<= ui, ujrang<==0 quando i neq j.
Considerando o produto interno canônico em R^3, determine se o conjunto (1,2,1),(1,-1,1),(-1,1,2) é ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
u1,u2,u3=(1,2,1),(1,-1,1),(-1,1,2)
é ortogonal em R^3 com o produto interno canônico, que é dado por
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3.

Passo 2

Calcular lang<= u1,u2rang<=.
lang<= u1,u2rang<= =1cdot 1 + 2cdot(-1) + 1cdot1 =1 -2 +1 =0

Passo 3

Calcular lang<= u1,u3rang<=.
lang<= u1,u3rang<= =1cdot(-1) + 2cdot1 + 1cdot2 =-1 +2 +2 =3

Passo 4

Para que o conjunto seja ortogonal, todas as produtórias internas pares devem ser zero. Aqui já vimos que
lang<= u1,u3rang<= = 3 neq 0,
logo falha a condição de ortogonalidade.

Resposta

O conjunto não é ortogonal.

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