Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
x+y+2 z & =8 -x-2 y+3 z & =1 3 x-7 y+4 z & =10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações! O que temos aqui é um sistema linear com três equações e três incógnitas: x, y e z. Para resolver, vamos usar matrizes ampliadas e transformá-las em forma escada usando operações de linha. No final, vamos descobrir os postos das matrizes e, se possível, determinar o grau de liberdade do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocarmos os coeficientes das variáveis e os termos constantes em uma única matriz. Nosso sistema é:
x + y + 2z = 8 -x - 2y + 3z = 1 3x - 7y + 4z = 10
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 2 & | & 8 -1 & -2 & 3 & | & 1 3 & -7 & 4 & | & 10

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz em forma escada usando operações de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, ou somar múltiplos de uma linha a outra).
  1. Eliminando o x da segunda e terceira equação:
    • Linha 2 (L2): Vamos somar a Linha 1 (L1) com a Linha 2 para eliminar o x:
L2 = L2 + L1 Rightarrow (-1 + 1, -2 + 1, 3 + 2 | 1 + 8) Rightarrow (0, -1, 5 | 9)
  • Linha 3 (L3): Vamos subtrair 3 vezes a Linha 1 da Linha 3 para eliminar o x:
L3 = L3 - 3 times L1 Rightarrow (3 - 3 times 1, -7 - 3 times 1, 4 - 3 times 2 | 10 - 3 times 8) Rightarrow (0, -10, -2 | -14)
A matriz agora fica:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & -1 & 5 & | & 9 0 & -10 & -2 & | & -14
  1. Eliminando o y da terceira equação:
    • Vamos multiplicar a Linha 2 por 10 e somar à Linha 3 para eliminar o y:
L3 = L3 + 10 times L2 Rightarrow (0 + 0, -10 + 10 times (-1), -2 + 10 times 5 | -14 + 10 times 9) Rightarrow (0, -20, 48 | 76)
No entanto, para simplificar, podemos primeiro dividir a Linha 2 por -1:
L2 = L2-1 Rightarrow (0, 1, -5 | -9)
Em seguida, subtrair 10 vezes a nova Linha 2 da Linha 3:
L3 = L3 - 10 times L2 Rightarrow (0 - 0, -10 - 10 times 1, -2 - 10 times (-5) | -14 - 10 times (-9)) Rightarrow (0, -20, 48 | 76)
A matriz fica:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & -20 & 48 & | & 76
Nota: Observamos que a terceira linha é múltiplo da segunda, o que indica que o sistema pode ter infinitas soluções.

Passo 4

Agora, vamos analisar os postos das matrizes:
  • Posto da Matriz dos Coeficientes: Consideramos apenas os coeficientes das variáveis:
1 & 1 & 2 -1 & -2 & 3 3 & -7 & 4
Após as operações anteriores, vemos que duas linhas são linearmente independentes, então o posto é 2.
  • Posto da Matriz Ampliada:
1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 1 & -5 & | & -9 0 & -20 & 48 & | & 76
Também tem posto 2.

Passo 5

Como o posto da Matriz dos Coeficientes é igual ao posto da Matriz Ampliada (2 = 2), o sistema é compatível (ou seja, tem soluções).
Para determinar o grau de liberdade, usamos a fórmula:
Grau de liberdade = Número de variáveis - Posto úá
Grau de liberdade = 3 - 2 = 1
Isso significa que teremos uma variável livre, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a uma das variáveis e resolver as outras em função dela.

Passo 6

Vamos expressar as soluções em termos da variável livre z:
  1. Da Linha 2:
y - 5z = -9 Rightarrow y = 5z - 9
  1. Da Linha 1:
x + y + 2z = 8 Rightarrow x = 8 - y - 2z = 8 - (5z - 9) - 2z = 17 - 7z
Portanto, temos:
x = 17 - 7z y = 5z - 9 z = livre

Resposta

O sistema possui soluções infinitas com um grau de liberdade. As soluções são:
x = 17 - 7z y = 5z - 9 z pode ser qualquer número real ú

Exercícios relacionados