Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
llr2 x+2 y+2 z & = & 0 -2 x-5 y+2 z & = & 1 8 x+y+4 z & = & -1

Passo 1

O enunciado pede para usar eliminação de Gauss e escrever a matriz ampliada do sistema
2x + 2y + 2z = 0, -2x -5y +2z = 1, 8x + y +4z = -1
em forma escalonada, depois determinar o posto da matriz de coeficientes A, o posto da matriz ampliada (Amid b) e, se o sistema for possível, o grau de liberdade (número de variáveis menos o posto de A).

Passo 2

Montamos a matriz ampliada (Amid b):
(Amid b)= 2 & 2 & 2 & 0 -2 & -5 & 2 & 1 8 & 1 & 4 & -1

Passo 3

Escolhemos pivot em (1,1). Dividimos a linha 1 por 2 e usamos-a para zerar abaixo:
R1>=ts tfrac12R1, R2>=ts R2+2R1, R3>=ts R3-8R1
Fica
1 & 1 & 1 & 0 0 & -3 & 4 & 1 0 & -7 & -4 & -1

Passo 4

Agora pivot em (2,2). Dividimos a linha 2 por -3 e usamos para zerar abaixo:
R2>=ts -tfrac13R2, R3>=ts R3+7R2
O resultado é
1 & 1 & 1 & 0 0 & 1 & -tfrac43 & -tfrac13 0 & 0 & -tfrac403 & -tfrac103

Passo 5

A matriz acima já está em forma escalonada. Note que há três pivôs não nulos (um em cada linha):

Passo 6

O posto da matriz de coeficientes é o número de pivôs na parte esquerda, ou seja .
O posto da matriz ampliada também é , pois o pivô da terceira linha não se anula no lado direito.
Como e há variáveis, o sistema é possível e determinado, com grau de liberdade

Resposta


Sistema possível e determinado. Grau de liberdade .

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