Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
llr-2 y+3 z & = & 1 3 x+6 y-3 z & = & -2 6 x+6 y+3 z & = & 5

Passo 1

O enunciado pede para aplicar eliminação de Gauss sobre o sistema linear
-2y+3z=1, 3x+6y-3z=-2, 6x+6y+3z=5,
procurando a forma escalonada reduzida da matriz aumentada, calcular rank(A), rank(Amid b) e, se possível, o grau de liberdade.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (Amid b) na ordem (x,y,z):
(Amid b) = [ccc|c 0 & -2 & 3 & 1 3 & 6 & -3 & -2 6 & 6 & 3 & 5 ]

Passo 3

Para ter pivô não nulo em (1,1), trocamos R1rightarrow R2:
[ccc|c 3 & 6 & -3 & -2 0 & -2 & 3 & 1 6 & 6 & 3 & 5 ]

Passo 4

Eliminamos o termo abaixo do pivô em coluna 1:
R3 R3-2R1 ;Longrightarrow; [ccc|c 3 & 6 & -3 & -2 0 & -2 & 3 & 1 0 & -6 & 9 & 9 ]

Passo 5

Escalonamos o pivô em (2,2) dividindo R2 por -2:
R2 -tfrac12,R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 3 & 6 & -3 & -2 0 & 1 & -tfrac32 & -tfrac12 0 & -6 & 9 & 9 ]

Passo 6

Eliminamos na coluna 2 em R1 e R3:
R1& R1-6R2, R3& R3+6R2,
produzindo
[ccc|c 3 & 0 & 6 & 1 0 & 1 & -tfrac32 & -tfrac12 0 & 0 & 0 & 6 ]

Passo 7

Para completar a forma reduzida, normalizamos R1 e R3:
R1 tfrac13 R1, R3 tfrac16 R3 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 0 & 2 & tfrac13 0 & 1 & -tfrac32 & -tfrac12 0 & 0 & 0 & 1 ]
A terceira linha diz 0=1, logo o sistema é impossível. Daí
rank(A)=2 (duas linhas não nulas na parte de coeficientes) e rank(Amid b)=3 (três linhas não nulas na aumentada), incompatíveis, sem grau de liberdade.

Resposta

Forma escalonada reduzida da matriz aumentada:
[ccc|c 1 & 0 & 2 & tfrac13 0 & 1 & -tfrac32 & -tfrac12 0 & 0 & 0 & 1 ]
rank(A)=2, rank(Amid b)=3.
Sistema impossível.

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