Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
lx-y+z=2 -x+2 y+2 z=5 5 x-y+5 z=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x - y + z = 2, -,x + 2y + 2z = 5, 5x - y + 5z = 1,
e pede para montar a matriz ampliada, reduzi-la à forma escada (row-echelon), determinar o posto da matriz de coeficientes A e da matriz ampliada [Amid b], e, se o sistema for possível, calcular o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada e eliminamos abaixo de a11=1:
[Amid b] =[ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 -1& 2 & 2 & 5 5 & -1 & 5 & 1 ]
Fazendo R2 R2+R1 e R3 R3-5,R1 obtemos
r R2:(-1+1,;2-1,;2+1;mid;5+2)=(0,1,3mid7), R3:(5-5,;-1+5,;5-5;mid;1-10)=(0,4,0mid-9)
Logo
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 7 0 & 4 & 0 & -9 ]

Passo 3

Agora eliminamos abaixo do pivô a22=1 com R3 R3-4,R2:
R3:(0,;4-4,;0-4cdot3;mid;-9-4cdot7)=(0,0,-12mid-37)
A matriz fica
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 7 0 & 0 & -12 & -37 ],
que já está em forma escada.

Passo 4

Os pivôs não nulos aparecem em todas as três linhas, logo
posto(A)=3, posto([Amid b])=3
Como posto(A)=posto([Amid b]), o sistema é possível. Há n=3 incógnitas e posto =3, então o grau de liberdade é
n - posto(A)=3-3=0

Resposta

Matriz ampliada na forma escada:
[ccc|c 1 & -1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 7 0 & 0 & -12 & -37 ],
posto(A)=3, posto([Amid b])=3, grau de liberdade =0.

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