Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
x+y+z+t & =1 x-y+z+t & =-1 y-z+2 t & =2 2 x+z-t & =-1

Passo 1

O enunciado dá o sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas
x+y+z+t = 1, x-y+z+t = -1, ;y -z+2t = 2, 2x;+;z -t = -1
O objetivo é usar eliminação de Gauss para levar a matriz aumentada à forma escada, determinar o posto da matriz de coeficientes A e da matriz aumentada [Amid b] e, se possível, calcular o grau de liberdade (número de variáveis livres).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [Amid b]:
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 & -1 0 & 1 & -1 & 2 & 2 2 & 0 & 1 & -1 & -1 ]

Passo 3

Pivô na coluna de x: usamos a primeira linha para zerar abaixo na coluna 1:
R2 >=ts R2 - R1, R4 >=ts R4 - 2,R1
Fica
[cccc|c 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 & 0 & -2 0 & 1 & -1 & 2 & 2 0 & -2 & -1 & -3 & -3 ]

Passo 4

Pivô na coluna de y: trocamos R2 com R3 para ter 1 no pivô, depois normalizamos e eliminamos nas outras linhas:
R2rightarrow R3, R2>=ts R2/1, R1>=ts R1 - R2, R3>=ts R3 +2,R2, R4>=ts R4 +2,R2
Obtemos
[cccc|c 1 & 0 & 2 & -1 & -1 0 & 1 & -1 & 2 & 2 0 & 0 & -2 & 4 & 2 0 & 0 & -3 & 1 & 1 ]

Passo 5

Pivô na coluna de z: normalizamos R3 e eliminamos z em R1,R2,R4:
R3>=ts -tfrac12,R3, R1>=ts R1 -2,R3, R2>=ts R2 + R3, R4>=ts R4 +3,R3
Fica
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 3 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 0 & 0 & -5 & -2 ]

Passo 6

Pivô na coluna de t: normalizamos R4 e zeramos t em R1,R2,R3:
R4>=ts -tfrac15,R4, R1>=ts R1 -3,R4, R2 permanece, R3>=ts R3 +2,R4,
resultando na forma escada reduzida (RREF):
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & -tfrac15 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & -tfrac95 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac25 ]

Passo 7

Da forma escada:
– Há 4 pivôs na matriz de coeficientes A, logo rank(A)=4.
– Na aumentada [Amid b] também aparecem exatamente 4 pivôs, logo rank([Amid b])=4.
– Como rank(A)=rank([Amid b])=n (com n=4), o sistema é possível e determinado, sem variáveis livres.
– Grau de liberdade
n - rank(A) = 4 - 4 = 0

Resposta

A forma escalonada da matriz aumentada é
[cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & -tfrac15 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & -tfrac95 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac25 ],
rank(A)=4, rank([Amid b])=4, sistema possível e determinado, grau de liberdade 0.

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