Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
\left\{\begin{aligned} 5732 x+2134 y+2134 z & =7866 \\\\ 2134 x+5732 y+2134 z & =670 \\\\ 2134 x+2134 y+5732 z & =11464\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo nas categorias dadas. As equações fornecidas são:
\begin{aligned} 5732x+2134y+2134z&=7866,\\[4pt] 2134x+5732y+2134z&=670,\\[4pt] 2134x+2134y+5732z&=11464. \end{aligned}
Perguntas: encontrar (x,y,z) que satisfaçam o sistema e dizer se o sistema é SPS, SPI ou SI. Informação relevante: os coeficientes diagonais são iguais entre si e os coeficientes fora da diagonal também são iguais entre si (padrão simétrico).]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (sem pressupor que você saiba): aqui é conveniente usar eliminação por combinações lineares das equações (subtrair umas das outras e somar), porque isso gera equações simples entre as incógnitas. Quando subtraímos duas equações do sistema, as colunas que têm os mesmos coeficientes se cancelam parcialmente e isso elimina a contribuição comum, deixando relações simples do tipo x-y= algo. Também é útil somar todas as equações quando as somas das colunas ficam simples. Vou mostrar passo a passo como isso funciona e por quê.

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira: faço (\text{Eq1})-(\text{Eq2}).
(5732-2134)x+(2134-5732)y+(2134-2134)z=7866-670.
Calculando os coeficientes:
3598x-3598y+0\cdot z=7196.
Dividindo por 3598:
x-y=2.

Passo 4

Agora subtraio a terceira equação da segunda: faço (\text{Eq2})-(\text{Eq3}).
(2134-2134)x+(5732-2134)y+(2134-5732)z=670-11464.
Calculando:
0\cdot x+3598y-3598z=-10794.
Dividindo por 3598:
y-z=-3.

Passo 5

A partir de x-y=2 e y-z=-3 podemos relacionar x e z:
x-z=(x-y)+(y-z)=2+(-3)=-1.
Para resolver em valores numéricos, é prático escrever x e y em função de z:
y=z-3,\qquad x=y+2=(z-3)+2=z-1.

Passo 6

Agora obtenho uma equação para a soma s=x+y+z somando todas as três equações do sistema:
(5732+2134+2134)x+(2134+5732+2134)y+(2134+2134+5732)z=7866+670+11464.
Cada soma de coeficientes de coluna dá 10000, e o lado direito soma 20000. Logo
10000(x+y+z)=20000,
portanto
x+y+z=2.

Passo 7

Substituo as expressões em função de z na soma x+y+z=2:
(z-1)+(z-3)+z=2.
Somando os termos:
3z-4=2.
Isolando z:
3z=6\quad\Rightarrow\quad z=2.
Agora volto para y e x:
y=z-3=2-3=-1,
x=z-1=2-1=1.

Passo 8

Verificação rápida (substituir em cada equação para checar):
Primeira equação:
5732\cdot1+2134\cdot(-1)+2134\cdot2=5732-2134+4268=7866\quad\checkmark.
Segunda:
2134\cdot1+5732\cdot(-1)+2134\cdot2=2134-5732+4268=670\quad\checkmark.
Terceira:
2134\cdot1+2134\cdot(-1)+5732\cdot2=2134-2134+11464=11464\quad\checkmark.
Tudo confere: solução correta.

Passo 9

Classificação do sistema: encontramos exatamente uma solução (x,y,z), portanto o sistema é possível e determinado. Dentre as opções dadas, isto corresponde a SPS (única solução). Relembrando rápido: SPS = uma única solução; SPI = infinitas soluções; SI = nenhuma solução.

Resposta

x=1,\\ y=-1,\\ z=2
SPS

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