Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. \left\{\begin{aligned} 5732 x+2134 y+2134 z & =7866 \\\\ 2134 x+5732 y+2134 z & =670 \\\\ 2134 x+2134 y+5732 z & =11464\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo nas categorias dadas. As equações fornecidas são:
Perguntas: encontrar (x,y,z) que satisfaçam o sistema e dizer se o sistema é SPS, SPI ou SI. Informação relevante: os coeficientes diagonais são iguais entre si e os coeficientes fora da diagonal também são iguais entre si (padrão simétrico).]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (sem pressupor que você saiba): aqui é conveniente usar eliminação por combinações lineares das equações (subtrair umas das outras e somar), porque isso gera equações simples entre as incógnitas. Quando subtraímos duas equações do sistema, as colunas que têm os mesmos coeficientes se cancelam parcialmente e isso elimina a contribuição comum, deixando relações simples do tipo x-y= algo. Também é útil somar todas as equações quando as somas das colunas ficam simples. Vou mostrar passo a passo como isso funciona e por quê.
Passo 3
Subtraindo a segunda equação da primeira: faço (\text{Eq1})-(\text{Eq2}).
(5732-2134)x+(2134-5732)y+(2134-2134)z=7866-670.
Calculando os coeficientes:
3598x-3598y+0\cdot z=7196.
Dividindo por 3598:
x-y=2.
Passo 4
Agora subtraio a terceira equação da segunda: faço (\text{Eq2})-(\text{Eq3}).
(2134-2134)x+(5732-2134)y+(2134-5732)z=670-11464.
Calculando:
0\cdot x+3598y-3598z=-10794.
Dividindo por 3598:
y-z=-3.
Passo 5
A partir de x-y=2 e y-z=-3 podemos relacionar x e z:
x-z=(x-y)+(y-z)=2+(-3)=-1.
Para resolver em valores numéricos, é prático escrever x e y em função de z:
y=z-3,\qquad x=y+2=(z-3)+2=z-1.
Passo 6
Agora obtenho uma equação para a soma s=x+y+z somando todas as três equações do sistema:
Classificação do sistema: encontramos exatamente uma solução (x,y,z), portanto o sistema é possível e determinado. Dentre as opções dadas, isto corresponde a SPS (única solução). Relembrando rápido: SPS = uma única solução; SPI = infinitas soluções; SI = nenhuma solução.