Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-3 z=4 \\\\ 2 x+3 y+4 z=5 \\\\ 4 x+7 y-2 z=12\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo como SPS (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível). As equações dadas são:
\begin{cases} x+2y-3z=4,\\[4pt] 2x+3y+4z=5,\\[4pt] 4x+7y-2z=12. \end{cases}
Informações relevantes: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. Precisamos verificar se existe solução e, se existir, encontrá‑la; caso contrário, concluir que o sistema é impossível.]

Passo 2

Escolhi eliminar variáveis usando eliminação de Gauss (método das operações elementares entre linhas). Vou explicar rapidamente o que isso faz: transformamos o sistema em um equivalente (mesmas soluções) aplicando operações do tipo somar uma linha a outra, multiplicar uma linha por não‑zero, ou trocar linhas. O objetivo é obter uma forma triangular (linha com zeros à esquerda) para resolver as incógnitas por substituição regressiva. Cada equação será escrita como linha da matriz aumentada.
A matriz aumentada inicial do sistema é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 2 & 3 & 4 & 5\\[4pt] 4 & 7 & -2 & 12 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeira etapa: usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo do primeiro elemento (o coeficiente de x). Faço as operações:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1,\qquad L_3 \leftarrow L_3 - 4L_1.
Calculemos cada nova linha:
Para L_2 - 2L_1:
\begin{aligned} \text{coef de }x&: 2-2\cdot1=0,\\\ \text{coef de }y&: 3-2\cdot2=3-4=-1,\\\ \text{coef de }z&: 4-2\cdot(-3)=4+6=10,\\\ \text{lado direito}&: 5-2\cdot4=5-8=-3. \end{aligned}
Para L_3 - 4L_1:
\begin{aligned} \text{coef de }x&: 4-4\cdot1=0,\\\ \text{coef de }y&: 7-4\cdot2=7-8=-1,\\\ \text{coef de }z&: -2-4\cdot(-3)=-2+12=10,\\\ \text{lado direito}&: 12-4\cdot4=12-16=-4. \end{aligned}
A matriz aumentada vira:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -3\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -4 \end{array}\right].]

Passo 4

Segunda etapa: usar a segunda linha para zerar abaixo do pivô na coluna de y. Observamos que as linhas L_2 e L_3 têm os mesmos coeficientes de y e z mas lados direitos diferentes; isso já é um sinal a verificar. Faço
L_3 \leftarrow L_3 - L_2.
Calculemos:
\begin{aligned} \text{coef de }x&: 0-0=0,\\\ \text{coef de }y&: -1-(-1)=0,\\\ \text{coef de }z&: 10-10=0,\\\ \text{lado direito}&: -4-(-3)=-1. \end{aligned}
Então a terceira linha fica [0\;0\;0\mid -1].
A matriz aumentada agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 10 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação do que apareceu: a terceira linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja
0 = -1,
que é uma contradição impossível. Quando, após eliminação, surge uma linha da forma \,0= \text{não‑zero}\,ã, isso significa que o sistema original não tem solução: as equações são incompatíveis entre si.
Explicação didática: geometricamente, três planos no espaço podem não ter um ponto comum — podem ser paralelos, ou dois podem intersectar em uma reta que não encontra o terceiro plano, etc. No cálculo algébrico, a contradição numa linha indica exatamente que não existe tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 6

Conclusão lógica: como encontramos uma contradição, não há solução para o sistema. Não precisamos prosseguir com tentativa de substituir ou encontrar variáveis livres, pois a presença dessa linha nula no coeficiente com termo independente não‑zero já garante que o conjunto de equações é inconsistente.

Resposta

Sem solução. Classificação: SI

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