Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. \left\{\begin{array}{l}x+2 y-3 z=4 \\\\ 2 x+3 y+4 z=5 \\\\ 4 x+7 y-2 z=12\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema e classificá‑lo como SPS (sistema possível e determinado), SPI (sistema possível e indeterminado) ou SI (sistema impossível). As equações dadas são:
Informações relevantes: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z. Precisamos verificar se existe solução e, se existir, encontrá‑la; caso contrário, concluir que o sistema é impossível.]
Passo 2
Escolhi eliminar variáveis usando eliminação de Gauss (método das operações elementares entre linhas). Vou explicar rapidamente o que isso faz: transformamos o sistema em um equivalente (mesmas soluções) aplicando operações do tipo somar uma linha a outra, multiplicar uma linha por não‑zero, ou trocar linhas. O objetivo é obter uma forma triangular (linha com zeros à esquerda) para resolver as incógnitas por substituição regressiva. Cada equação será escrita como linha da matriz aumentada.
Segunda etapa: usar a segunda linha para zerar abaixo do pivô na coluna de y. Observamos que as linhas L_2 e L_3 têm os mesmos coeficientes de y e z mas lados direitos diferentes; isso já é um sinal a verificar. Faço
L_3 \leftarrow L_3 - L_2.
Calculemos:
\begin{aligned} \text{coef de }x&: 0-0=0,\\\ \text{coef de }y&: -1-(-1)=0,\\\ \text{coef de }z&: 10-10=0,\\\ \text{lado direito}&: -4-(-3)=-1. \end{aligned}
Interpretação do que apareceu: a terceira linha representa a equação
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -1,
ou seja
0 = -1,
que é uma contradição impossível. Quando, após eliminação, surge uma linha da forma \,0= \text{não‑zero}\,ã‑, isso significa que o sistema original não tem solução: as equações são incompatíveis entre si.
Explicação didática: geometricamente, três planos no espaço podem não ter um ponto comum — podem ser paralelos, ou dois podem intersectar em uma reta que não encontra o terceiro plano, etc. No cálculo algébrico, a contradição numa linha indica exatamente que não existe tripla (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Passo 6
Conclusão lógica: como encontramos uma contradição, não há solução para o sistema. Não precisamos prosseguir com tentativa de substituir ou encontrar variáveis livres, pois a presença dessa linha nula no coeficiente com termo independente não‑zero já garante que o conjunto de equações é inconsistente.