(UF-AL) O sistema \left\{\begin{array}{l}a x+2 y=3 \\\ b x-y=1\end{array}\right. nas variáveis reais x e y, é:
a) possível e determinado, \forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}.
b) possível e indeterminado se \mathrm{a}=2 \mathrm{~b}.
c) possível e determinado se \mathrm{a} \neq 2 \mathrm{~b} . \forall \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{R}.
d) possível e indeterminado se \mathrm{a}=-2 \mathrm{~b}.
e) impossível se \mathrm{a}=-2 \mathrm{~b}.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em x,y\)
\[\begin{cases} a x + 2y = 3,\\[4pt] b x - y = 1, \end{cases}
com a,b\in\mathbb{R}\], e pede a classificação do sistema (possível e determinado; possível e indeterminado; impossível) em função dos parâmetros \(a e b.
As alternativas fornecidas são (a) a (e) e temos que decidir qual é correta.]
Passo 2
Vou usar o método padrão para sistemas 2×2: análise pelo determinante da matriz dos coeficientes (e, se necessário, Regra de Cramer). Vou explicar isso passo a passo, sem jargão.
Para um sistema geral
\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1,\\[4pt] a_2 x + b_2 y = c_2, \end{cases}
Se D \neq 0: as duas equações são linearmente independentes e existe exatamente uma solução (sistema possível e determinado). Nesse caso podemos achar x e y por Regra de Cramer:
x=\dfrac{D_x}{D},\qquad y=\dfrac{D_y}{D},
onde D_x é o determinante obtido trocando a coluna dos x pelos termos constantes (c_1,c_2), e D_y trocando a coluna dos y.
Se D = 0: as equações são linearmente dependentes (se as esquinas da matriz dos coeficientes são proporcionais) e então ou não há solução (incompatível) ou há infinitas soluções (dependente e compatível). Para decidir, comparamos as constantes: se as combinações das equações forem contraditórias, é impossível; se forem exatamente a mesma equação (proporcionais também nos termos constantes), há infinitas soluções.
Isso é tudo que precisamos para classificar o sistema.]
Passo 3
Aplique isso ao nosso sistema identificando os coeficientes:
a_1 = a,\quad b_1 = 2,\quad c_1 = 3,
a_2 = b,\quad b_2 = -1,\quad c_2 = 1.
Calcule o determinante dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} a & 2 \\[4pt] b & -1 \end{vmatrix} = a\cdot(-1) - b\cdot 2 = -a - 2b = -(a+2b).]
Passo 4
Caso D\neq 0. Isso equivale a
-(a+2b)\neq 0 \iff a+2b \neq 0 \iff a \neq -2b.
Quando a\neq -2b o sistema tem única solução (possível e determinado). Para ficar mais concreto, vamos encontrar essa solução pela Regra de Cramer (aprender fazendo ajuda a lembrar):
Calcule D_x (determinante com a coluna dos x trocada pelos termos constantes):
Calcule D_y (determinante com a coluna dos y trocada pelos termos constantes):
D_y = \begin{vmatrix} a & 3 \\[4pt] b & 1 \end{vmatrix} = a\cdot 1 - b\cdot 3 = a - 3b.
Portanto, quando a\neq -2b,
x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{-5}{-(a+2b)} = \dfrac{5}{a+2b},
y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{a-3b}{-(a+2b)} = \dfrac{3b-a}{a+2b}.
Resumo: se a\neq -2b o sistema é possível e determinado (uma solução única dada acima).]
Passo 5
Caso D=0. Isso significa
a+2b = 0 \iff a = -2b.
Agora precisamos ver se, com a=-2b, as duas equações são compatíveis ou contraditórias.
Substituindo a=-2b na primeira equação obtemos:
(-2b)x + 2y = 3.
A segunda equação é
b x - y = 1.
Multiplicando a segunda equação por -2 (para comparar com a primeira):
-2\big(b x - y\big) = -2\cdot 1 \implies -2b x + 2y = -2.
Observe que a expressão do lado esquerdo é a mesma das duas formas (-2b x + 2y), mas os lados direitos são diferentes: na primeira a constante é 3, e na segunda (após multiplicar) é -2. Isso é uma contradição: a mesma combinação linear do x e y não pode ser simultaneamente igual a 3 e a -2. Logo, quando a=-2b não há solução — o sistema é incompatível (impossível).
Portanto, para a=-2b o sistema é impossível; não é indeterminado.
Passo 6
Concluímos que:
Se a\neq -2b o sistema é possível e determinado (única solução dada por x=\dfrac{5}{a+2b},\;y=\dfrac{3b-a}{a+2b}).
Se a = -2b o sistema é impossível (sem solução), porque as equações se tornam contraditórias.
Comparando com as alternativas do enunciado, a que corresponde é a alternativa (e).