aplicar o método de Gauss–Jacobi realizando exatamente duas iterações;
calcular o erro da aproximação obtida após essas duas iterações.
Informações relevantes do enunciado:
coeficientes da matriz e termos independentes estão todos especificados (não há imagem);
não foi dado um chute inicial, então será adotado o chute padrão x^{(0)}=(0,0,0) (isso é comum e suficiente para duas iterações).]
Passo 2
Explicando o método de Gauss–Jacobi (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
A ideia: isolar cada incógnita na sua equação, e calcular a próxima iteração usando somente os valores da iteração anterior.
Para uma equação geral da formaa_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j = b_i,a fórmula de iteração de Jacobi éx_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j^{(k)}\Bigr).Aqui:
x_i^{(k)} é o i-ésimo componente da aproximação no passo k,
a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na sua própria equação,
b_i é o termo independente da equação i.
Observação prática: em Jacobi todas as componentes x_j^{(k)} usadas para calcular x_i^{(k+1)} são da iteração anterior k (não se usa mistura com componentes já atualizadas no mesmo passo).
Passo 3
Escrever as fórmulas de iteração para o nosso sistema isolando cada x_i:
Da primeira equação 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 temos
x_{1}=\frac{1}{3}\bigl(1 + x_{2} - x_{3}\bigr).
Da segunda equação 3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0 temos
x_{2}=\frac{1}{6}\bigl(-3x_{1} - 2x_{3}\bigr).
Da terceira equação 3x_{1}+3x_{2}+7x_{3}=4 temos
x_{3}=\frac{1}{7}\bigl(4 - 3x_{1} - 3x_{2}\bigr).
Essas três fórmulas serão usadas repetidamente com os valores da iteração anterior.
Para calcular o erro precisamos da solução exata do sistema. Vamos resolvê-lo por eliminação de Gauss (passo-a-passo):
Sistema matricial \,A x = b\) com
\[A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1\\[2pt] 3 & 6 & 2\\[2pt] 3 & 3 & 7\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Eliminação:
Subtrair a primeira linha da segunda e da terceira:\begin{cases} \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - \text{linha}_1 \;\Rightarrow\; (0,\;7,\;1\mid -1),\\[4pt] \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \text{linha}_1 \;\Rightarrow\; (0,\;4,\;6\mid 3). \end{cases}
Eliminar o termo da coluna 2 na terceira linha: fazer (linha_3 \leftarrow linha_3 - \tfrac{4}{7},linha_2]. Isso dá para a terceira linha (0,\;0,\;\tfrac{38}{7}\mid \tfrac{25}{7}).
Retro-substituição:
Da terceira linha: \tfrac{38}{7}x_{3}=\tfrac{25}{7}\Rightarrow x_{3}=\tfrac{25}{38}.
Da segunda linha: 7x_{2}+1\cdot x_{3}=-1\Rightarrow 7x_{2}=-1-x_{3}=-1-\tfrac{25}{38}=-\tfrac{63}{38}\Rightarrow x_{2}=-\dfrac{63}{266}.
Da primeira linha: 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=1\Rightarrow 3x_{1}=1+x_{2}-x_{3}
=1 - \dfrac{119}{133}=\dfrac{14}{133}\Rightarrow x_{1}=\dfrac{14}{399}.