Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jacobi. Faça duas iterações em cada sistema e calcule o erro da aproximação.
\left\{\begin{array}{c} 3 x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 3 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}=0 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=1,\\[4pt] 3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0,\\[4pt] 3x_{1}+3x_{2}+7x_{3}=4, \end{array}\right.
e pede:
  • aplicar o método de Gauss–Jacobi realizando exatamente duas iterações;
  • calcular o erro da aproximação obtida após essas duas iterações.
Informações relevantes do enunciado:
  • coeficientes da matriz e termos independentes estão todos especificados (não há imagem);
  • não foi dado um chute inicial, então será adotado o chute padrão x^{(0)}=(0,0,0) (isso é comum e suficiente para duas iterações).]

Passo 2

Explicando o método de Gauss–Jacobi (passo-a-passo didático e sem pular etapas):
  • A ideia: isolar cada incógnita na sua equação, e calcular a próxima iteração usando somente os valores da iteração anterior.
  • Para uma equação geral da forma a_{ii}x_i + \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j = b_i,a fórmula de iteração de Jacobi é x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij} x_j^{(k)}\Bigr).Aqui:
    • x_i^{(k)} é o i-ésimo componente da aproximação no passo k,
    • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na sua própria equação,
    • b_i é o termo independente da equação i.
  • Observação prática: em Jacobi todas as componentes x_j^{(k)} usadas para calcular x_i^{(k+1)} são da iteração anterior k (não se usa mistura com componentes já atualizadas no mesmo passo).

Passo 3

Escrever as fórmulas de iteração para o nosso sistema isolando cada x_i:
Da primeira equação 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=1 temos
x_{1}=\frac{1}{3}\bigl(1 + x_{2} - x_{3}\bigr).
Da segunda equação 3x_{1}+6x_{2}+2x_{3}=0 temos
x_{2}=\frac{1}{6}\bigl(-3x_{1} - 2x_{3}\bigr).
Da terceira equação 3x_{1}+3x_{2}+7x_{3}=4 temos
x_{3}=\frac{1}{7}\bigl(4 - 3x_{1} - 3x_{2}\bigr).
Essas três fórmulas serão usadas repetidamente com os valores da iteração anterior.

Passo 4

Chute inicial e primeira iteração ( k=0 \to k=1).
Adotando x^{(0)}=(0,0,0).
Calcular x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{1}{3}\bigl(1 + x_{2}^{(0)} - x_{3}^{(0)}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(1+0-0\bigr)=\frac{1}{3}.
Calcular x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{1}{6}\bigl(-3x_{1}^{(0)} - 2x_{3}^{(0)}\bigr) =\frac{1}{6}\bigl(-3\cdot 0 - 2\cdot 0\bigr)=0.
Calcular x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{1}{7}\bigl(4 - 3x_{1}^{(0)} - 3x_{2}^{(0)}\bigr) =\frac{1}{7}\bigl(4 - 0 - 0\bigr)=\frac{4}{7}.
Logo a primeira iteração fornece
x^{(1)}=\left(\frac{1}{3},\;0,\;\frac{4}{7}\right).

Passo 5

Segunda iteração ( k=1 \to k=2), usando os valores de x^{(1)}.
Calcular x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1}{3}\bigl(1 + x_{2}^{(1)} - x_{3}^{(1)}\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(1 + 0 - \frac{4}{7}\Bigr) =\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{7}.
Calcular x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{1}{6}\bigl(-3x_{1}^{(1)} - 2x_{3}^{(1)}\bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(-3\cdot\frac{1}{3} - 2\cdot\frac{4}{7}\Bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(-1 - \frac{8}{7}\Bigr) =\frac{1}{6}\cdot\Bigl(-\frac{15}{7}\Bigr) =-\frac{15}{42}=-\frac{5}{14}.
Calcular x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{1}{7}\bigl(4 - 3x_{1}^{(1)} - 3x_{2}^{(1)}\bigr) =\frac{1}{7}\Bigl(4 - 3\cdot\frac{1}{3} - 3\cdot 0\Bigr) =\frac{1}{7}\cdot 3=\frac{3}{7}.
Portanto a aproximação após duas iterações é
x^{(2)}=\left(\frac{1}{7},\; -\frac{5}{14},\; \frac{3}{7}\right)
ou em decimais aproximados
x^{(2)}\approx\bigl(0,142857,\; -0,357143,\; 0,428571\bigr).

Passo 6

Para calcular o erro precisamos da solução exata do sistema. Vamos resolvê-lo por eliminação de Gauss (passo-a-passo):
Sistema matricial \,A x = b\) com \[A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 1\\[2pt] 3 & 6 & 2\\[2pt] 3 & 3 & 7\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]4\end{pmatrix}.
Eliminação:
  • Subtrair a primeira linha da segunda e da terceira: \begin{cases} \text{linha}_2 \leftarrow \text{linha}_2 - \text{linha}_1 \;\Rightarrow\; (0,\;7,\;1\mid -1),\\[4pt] \text{linha}_3 \leftarrow \text{linha}_3 - \text{linha}_1 \;\Rightarrow\; (0,\;4,\;6\mid 3). \end{cases}
  • Eliminar o termo da coluna 2 na terceira linha: fazer (linha_3 \leftarrow linha_3 - \tfrac{4}{7},linha_2]. Isso dá para a terceira linha
    (0,\;0,\;\tfrac{38}{7}\mid \tfrac{25}{7}).
Retro-substituição:
  • Da terceira linha: \tfrac{38}{7}x_{3}=\tfrac{25}{7}\Rightarrow x_{3}=\tfrac{25}{38}.
  • Da segunda linha: 7x_{2}+1\cdot x_{3}=-1\Rightarrow 7x_{2}=-1-x_{3}=-1-\tfrac{25}{38}=-\tfrac{63}{38}\Rightarrow x_{2}=-\dfrac{63}{266}.
  • Da primeira linha: 3x_{1}-x_{2}+x_{3}=1\Rightarrow 3x_{1}=1+x_{2}-x_{3} =1 - \dfrac{119}{133}=\dfrac{14}{133}\Rightarrow x_{1}=\dfrac{14}{399}.
Assim a solução exata é
x^{*}=\left(\frac{14}{399},\; -\frac{63}{266},\; \frac{25}{38}\right) \approx\bigl(0,035088,\; -0,236842,\; 0,657895\bigr).]

Passo 7

Calcular o erro da aproximação x^{(2)}. Vou apresentar o vetor erro e duas normas para quantificar:
  • erro vetorial e = x^{*}-x^{(2)}.
Componentes do erro (usando frações exatas e depois decimal):
  1. Para x_{1}:
e_{1}=\frac{14}{399}-\frac{1}{7}=\frac{98-399}{2793}=-\frac{301}{2793}\approx -0,107768.
  1. Para x_{2}:
e_{2}=-\frac{63}{266}-\Bigl(-\frac{5}{14}\Bigr)=-\frac{63}{266}+\frac{5}{14}=\frac{112}{931}\approx 0,120369.
  1. Para x_{3}:
e_{3}=\frac{25}{38}-\frac{3}{7}=\frac{61}{266}\approx 0,229323.
Logo
e=x^{*}-x^{(2)}=\left(-\frac{301}{2793},\; \frac{112}{931},\; \frac{61}{266}\right) \approx(-0,107768,\; 0,120369,\; 0,229323).
Duas medidas de erro comumente usadas:
  • Norma infinito (erro máximo componente): \|e\|_{\infty}=\max\{|e_{1}|,|e_{2}|,|e_{3}|\}\approx 0,229323.
  • Norma Euclidiana: \|e\|_{2}\approx\sqrt{0,107768^{2}+0,120369^{2}+0,229323^{2}}\approx 0,28053.

Resposta

x^{(2)}=\displaystyle\left(\frac{1}{7},\; -\frac{5}{14},\; \frac{3}{7}\right)\approx(0,142857,\; -0,357143,\; 0,428571)\n
e=x^{*}-x^{(2)}=\displaystyle\left(-\frac{301}{2793},\; \frac{112}{931},\; \frac{61}{266}\right)\approx(-0,107768,\; 0,120369,\; 0,229323),\\ \|e\|_{\infty}\approx 0,229323

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