Resolva os sistemas abaixo usando eliminação gaussiana com substituição reversa, usando pivoteamento completo:
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3 \\\ x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=8\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=3\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=11 \end{cases}
O que se pede: resolver o sistema usando eliminação de Gauss com substituição reversa e pivoteamento completo.
Informações relevantes (retomando os coeficientes e o termo independente):
A=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 5 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 4 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}8\\[4pt]3\\[4pt]11\end{pmatrix}.
Vou transformar (A\;|\;b) em uma matriz triangular superior usando pivoteamento completo (ou seja, podemos trocar tanto linhas quanto colunas para levar o maior elemento em módulo da submatriz corrente para a posição de pivô). Como trocamos colunas, é preciso registrar a permutação de variáveis (ou seja, acompanhar qual coluna corresponde a qual x_i original).]

Passo 2

Formo a matriz aumentada inicial e verifico o pivô completo (maior módulo na matriz de coeficientes inteira):
\left(A\;|\;b\right)= \left(\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 11 \end{array}\right).
Os módulos dos coeficientes são \{4,1,1,2,5,2,1,2,4\}; o maior é 5 (posição original linha 2, coluna 2). Para trazer esse 5 para a posição de pivô (1,1) faço: trocar linha 1 com linha 2 e trocar coluna 1 com coluna 2. Essa troca de colunas altera a ordem das variáveis: a nova ordem de colunas corresponde às variáveis (x_{2},x_{1},x_{3}). Vou anotar a permutação final como
p=[2,1,3],
isto é, a coluna 1 atual representa x_{2}, a coluna 2 atual representa x_{1}, a coluna 3 representa x_{3}.]

Passo 3

Aplico as trocas (linha e coluna) na matriz aumentada. Após trocar linha 1\leftrightarrow2 e coluna 1\leftrightarrow2 obtemos:
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 4 & 1 & 8\\[4pt] 2 & 1 & 4 & 11 \end{array}\right).
Aqui o pivô é a_{11}=5 (correspondente a x_{2} na ordenação atual). Agora faço eliminação nas entradas abaixo do pivô na coluna 1.]

Passo 4

Cálculo dos fatores de eliminação e atualização das linhas (mostro passo a passo com frações, sem arredondamento):
  • Para a linha 2: fator f_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}}=\dfrac{-1}{5}. Novo R_{2}\leftarrow R_{2}-f_{21}R_{1}=R_{2}+{\tfrac{1}{5}}R_{1}.
  • Para a linha 3: fator f_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}=\dfrac{2}{5}. Novo R_{3}\leftarrow R_{3}-f_{31}R_{1}.
Faço as contas elemento a elemento:
R_{1}=\bigl[\,5,\;2,\;2\;|\;3\,\bigr],
R_{2}=-1,4,1\;|\;8 \Rightarrow R_{2} + \tfrac{1}{5}R_{1} = \bigl[\,0,\;\tfrac{22}{5},\;\tfrac{7}{5}\;|\;\tfrac{43}{5}\,\bigr],
R_{3}=2,1,4\;|\;11 \Rightarrow R_{3}-\tfrac{2}{5}R_{1} = \bigl[\,0,\;\tfrac{1}{5},\;\tfrac{16}{5}\;|\;\tfrac{49}{5}\,\bigr].
Portanto a matriz após a primeira etapa de eliminação é
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 3\\[6pt] 0 & \dfrac{22}{5} & \dfrac{7}{5} & \dfrac{43}{5}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{16}{5} & \dfrac{49}{5} \end{array}\right).]

Passo 5

Agora olho a submatriz inferior direita (linhas e colunas 2 e 3 da matriz atual) para escolher o próximo pivô por pivoteamento completo. A submatriz de coeficientes é
\begin{pmatrix} \dfrac{22}{5} & \dfrac{7}{5}\\[6pt] \dfrac{1}{5} & \dfrac{16}{5} \end{pmatrix}.
Os módulos são \dfrac{22}{5}=4{,}4, \dfrac{7}{5}=1{,}4, \dfrac{1}{5}=0{,}2, \dfrac{16}{5}=3{,}2. O maior é \dfrac{22}{5} que já está em posição (2,2) relativa à matriz atual; portanto não preciso trocar linhas nem colunas agora. O pivô é a_{22}=\dfrac{22}{5}.]

Passo 6

Elimino a entrada abaixo do pivô a_{22}. O fator para a linha 3 é
f_{32}=\dfrac{a_{32}}{a_{22}}=\dfrac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{22}{5}}=\dfrac{1}{22}.
Atualizo R_{3}\leftarrow R_{3}-f_{32}R_{2}. Faço as contas:
  • A segunda coluna da linha 3 passa a zero por construção.
  • Terceira coluna:
\frac{16}{5}-\frac{1}{22}\cdot\frac{7}{5}=\frac{16}{5}-\frac{7}{110}= \frac{352}{110}-\frac{7}{110}=\frac{345}{110}=\frac{69}{22}.
  • Termo independente:
\frac{49}{5}-\frac{1}{22}\cdot\frac{43}{5}=\frac{49}{5}-\frac{43}{110}= \frac{1078}{110}-\frac{43}{110}=\frac{1035}{110}=\frac{207}{22}.
Assim a linha 3 fica \bigl[\,0,\;0,\;\dfrac{69}{22}\;|\;\dfrac{207}{22}\,\bigr].
A matriz triangular superior final é
\left(\begin{array}{ccc|c} 5 & 2 & 2 & 3\\[6pt] 0 & \dfrac{22}{5} & \dfrac{7}{5} & \dfrac{43}{5}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{69}{22} & \dfrac{207}{22} \end{array}\right).]

Passo 7

Pronto — cheguei a uma matriz triangular superior. Agora faço substituição reversa para resolver as variáveis na ordem atual de colunas, lembrando que a ordem atual corresponde à permutação p=[2,1,3]. Vou chamar de y_{1},y_{2},y_{3} as incógnitas na ordem das colunas atuais, isto é
y_{1}=x_{2},\qquad y_{2}=x_{1},\qquad y_{3}=x_{3}.
O sistema triangular escrito em termos de y é:
\begin{cases} 5y_{1}+2y_{2}+2y_{3}=3,\\[4pt] \dfrac{22}{5}y_{2}+\dfrac{7}{5}y_{3}=\dfrac{43}{5},\\[6pt] \dfrac{69}{22}y_{3}=\dfrac{207}{22}. \end{cases}]

Passo 8

Resolução por substituição reversa (calculei com frações e simplificações exatas):
  • Da terceira equação:
y_{3}=\dfrac{\tfrac{207}{22}}{\tfrac{69}{22}}=\dfrac{207}{69}=3.
  • Da segunda equação:
\dfrac{22}{5}y_{2}+\dfrac{7}{5}\cdot 3=\dfrac{43}{5} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{22}{5}y_{2}=\dfrac{43}{5}-\dfrac{21}{5}=\dfrac{22}{5} \quad\Rightarrow\quad y_{2}=1.
  • Da primeira equação:
5y_{1}+2\cdot 1 +2\cdot 3=3 \quad\Rightarrow\quad 5y_{1}+8=3 \quad\Rightarrow\quad 5y_{1}=-5 \quad\Rightarrow\quad y_{1}=-1.

Passo 9

Agora converto de volta para as variáveis originais usando y_{1}=x_{2},\,y_{2}=x_{1},\,y_{3}=x_{3}. Assim:
x_{1}=y_{2}=1,\qquad x_{2}=y_{1}=-1,\qquad x_{3}=y_{3}=3.
Verificação rápida (substituindo na equação original):
4(1)-(-1)+3=8,\qquad 2(1)+5(-1)+2(3)=3,\qquad 1+2(-1)+4(3)=11,
todas verdadeiras.

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-1
x_{3}=3

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