O que se pede: resolver o sistema usando eliminação de Gauss com substituição reversa e pivoteamento completo.
Informações relevantes (retomando os coeficientes e o termo independente):
Vou transformar (A\;|\;b) em uma matriz triangular superior usando pivoteamento completo (ou seja, podemos trocar tanto linhas quanto colunas para levar o maior elemento em módulo da submatriz corrente para a posição de pivô). Como trocamos colunas, é preciso registrar a permutação de variáveis (ou seja, acompanhar qual coluna corresponde a qual x_i original).]
Passo 2
Formo a matriz aumentada inicial e verifico o pivô completo (maior módulo na matriz de coeficientes inteira):
Os módulos dos coeficientes são \{4,1,1,2,5,2,1,2,4\}; o maior é 5 (posição original linha 2, coluna 2). Para trazer esse 5 para a posição de pivô (1,1) faço: trocar linha 1 com linha 2 e trocar coluna 1 com coluna 2. Essa troca de colunas altera a ordem das variáveis: a nova ordem de colunas corresponde às variáveis (x_{2},x_{1},x_{3}). Vou anotar a permutação final como
p=[2,1,3],
isto é, a coluna 1 atual representa x_{2}, a coluna 2 atual representa x_{1}, a coluna 3 representa x_{3}.]
Passo 3
Aplico as trocas (linha e coluna) na matriz aumentada. Após trocar linha 1\leftrightarrow2 e coluna 1\leftrightarrow2 obtemos:
Agora olho a submatriz inferior direita (linhas e colunas 2 e 3 da matriz atual) para escolher o próximo pivô por pivoteamento completo. A submatriz de coeficientes é
Os módulos são \dfrac{22}{5}=4{,}4, \dfrac{7}{5}=1{,}4, \dfrac{1}{5}=0{,}2, \dfrac{16}{5}=3{,}2. O maior é \dfrac{22}{5} que já está em posição (2,2) relativa à matriz atual; portanto não preciso trocar linhas nem colunas agora. O pivô é a_{22}=\dfrac{22}{5}.]
Passo 6
Elimino a entrada abaixo do pivô a_{22}. O fator para a linha 3 é
Pronto — cheguei a uma matriz triangular superior. Agora faço substituição reversa para resolver as variáveis na ordem atual de colunas, lembrando que a ordem atual corresponde à permutação p=[2,1,3]. Vou chamar de y_{1},y_{2},y_{3} as incógnitas na ordem das colunas atuais, isto é