Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jacobi. Faça duas iterações em cada sistema e calcule o erro da aproximação.
\left\{\begin{array}{c} 10 x_{1}-x_{2}=9 \\\\ -x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7 \\\\ -2 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 10 x_{1}-x_{2}=9,\\[4pt] - x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7,\\[4pt] -2 x_{2}+10 x_{3}=6, \end{cases}
e pede que se faça duas iterações pelo método pedido e que se calcule o erro da aproximação obtida.
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes das incógnitas e os termos independentes estão explícitos nas três equações acima.
  • Deve ser realizada exatamente duas iterações a partir de uma aproximação inicial que não foi fornecida (portanto será escolhida uma convenção razoável).
  • É necessário calcular o erro da aproximação obtida após essas duas iterações.]

Passo 2

Transformar cada equação isolando a incógnita correspondente (isso gera as fórmulas iterativas que vamos aplicar).
A ideia é escrever cada variável como uma expressão das demais, usando a equação correspondente.
Da primeira equação:
10 x_{1}-x_{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{9+x_{2}}{10}.
Da segunda equação:
- x_{1}+10 x_{2}-2 x_{3}=7 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{7+x_{1}+2x_{3}}{10}.
Da terceira equação:
-2 x_{2}+10 x_{3}=6 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{6+2x_{2}}{10}.
Essas três fórmulas serão usadas nas iterações: em cada passo cada variável é atualizada utilizando os valores das outras variáveis da iteração anterior.

Passo 3

Escolha da aproximação inicial e observação sobre convergência.
  • Vou usar a aproximação inicial usualmente escolhida quando nada é indicado:
x^{(0)}=(x_{1}^{(0)},x_{2}^{(0)},x_{3}^{(0)})=(0,0,0).
  • Observação importante (útil para saber que as iterações vão se comportar bem): a matriz de coeficientes tem elementos diagonais maiores que a soma dos módulos dos outros elementos na mesma linha (linha 1: 10>1; linha 2: 10>1+2; linha 3: 10>2), ou seja, há dominância diagonal. Isso é um bom indício de convergência do processo iterativo adotado.

Passo 4

Primeira iteração (calcular x^{(1)} usando x^{(0)}).
Usar as fórmulas obtidas em Passo 2 com os valores de x^{(0)}.
Para x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{9+x_{2}^{(0)}}{10}=\frac{9+0}{10}=\frac{9}{10}=0,9.
Para x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{7+x_{1}^{(0)}+2x_{3}^{(0)}}{10}=\frac{7+0+0}{10}=\frac{7}{10}=0,7.
Para x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{6+2x_{2}^{(0)}}{10}=\frac{6+0}{10}=\frac{6}{10}=0,6.
Portanto
x^{(1)}=(0,9,\;0,7,\;0,6).

Passo 5

Segunda iteração (calcular x^{(2)} usando x^{(1)}) — faça as contas passo a passo.
Para x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{9+x_{2}^{(1)}}{10}=\frac{9+0,7}{10}=\frac{9,7}{10}=0,97.
Para x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{7+x_{1}^{(1)}+2x_{3}^{(1)}}{10}=\frac{7+0,9+2\cdot0,6}{10}=\frac{7+0,9+1,2}{10}=\frac{9,1}{10}=0,91.
Para x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{6+2x_{2}^{(1)}}{10}=\frac{6+2\cdot0,7}{10}=\frac{6+1,4}{10}=\frac{7,4}{10}=0,74.
Portanto a aproximação após duas iterações é
x^{(2)}=(0,97,\;0,91,\;0,74).

Passo 6

Calcular a solução exata (para poder medir o erro real da aproximação). Vou resolver o sistema exatamente por substituição para obter x.
Da primeira equação:
x_{1}=\frac{9+x_{2}}{10}.
Substituindo em segunda e usando a terceira para eliminar x_{3}:
A terceira dá
x_{3}=\frac{6+2x_{2}}{10}=0,6+0,2x_{2}.
Substituindo x_{3} na segunda (e multiplicando por 10 para ficar sem denominadores):
- (9+x_{2}) +100 x_{2} -20 x_{3} =70.
Substituindo x_{3}=0,6+0,2x_{2}:
-9 - x_{2} +100 x_{2} -20(0,6+0,2x_{2})=70.
Calcule termo a termo:
-9 - x_{2} +100 x_{2} -12 -4 x_{2}=70.
Agrupando:
( -9 -12) +(-x_{2}+100 x_{2}-4 x_{2})=70 \quad\Rightarrow\quad -21 +95 x_{2}=70.
Logo
95 x_{2}=91 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{91}{95}\approx0,9578947368.
Agora
x_{3}=0,6+0,2x_{2}=0,6+0,2\cdot\frac{91}{95}=0,6+\frac{91}{475}=\frac{376}{475}\approx0,7915789474.
E
x_{1}=\frac{9+x_{2}}{10}=\frac{9+\tfrac{91}{95}}{10}=\frac{473}{475}\approx0,9957894737.
Portanto a solução exata é
x=\left(\frac{473}{475},\;\frac{91}{95},\;\frac{376}{475}\right)\approx(0,995789,\;0,957895,\;0,791579).

Passo 7

Calcular o erro da aproximação x^{(2)}.
  • Vou calcular o erro por componentes e também a norma infinito (erro máximo por componente), que é uma medida simples e comum para avaliar aproximações.
Erros por componente:
\begin{aligned} e_{1}&=x_{1}-x_{1}^{(2)}\approx0,9957894737-0,97=0,0257894737\approx0,0257895,\\[4pt] e_{2}&=x_{2}-x_{2}^{(2)}\approx0,9578947368-0,91=0,0478947368\approx0,0478947,\\[4pt] e_{3}&=x_{3}-x_{3}^{(2)}\approx0,7915789474-0,74=0,0515789474\approx0,0515789. \end{aligned}
Norma infinito do erro (erro máximo absoluto entre componentes):
\|e\|_{\infty}=\max\{|e_{1}|,|e_{2}|,|e_{3}|\}\approx0,0515789474\approx0,051579.]

Resposta

Aproximação após 2 iterações: x^{(2)}=(0,97,\;0,91,\;0,74)
Erro por componentes: e\approx(0,0257895,\;0,0478947,\;0,0515789) — Norma infinito do erro: \|e\|_{\infty}\approx0,051579

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