Fazer duas iterações do método (ou seja, calcular x^{(1)} e x^{(2)});
Calcular o erro da aproximação obtida (vamos usar uma estimativa de erro simples: a norma infinito da diferença entre a segunda e a primeira iteração, isto é \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}).
Informações relevantes dadas:
Os coeficientes das diagonais principais são a_{11}=4,\\ a_{22}=-3,\\ a_{33}=5,\\ a_{44}=4,\\ a_{55}=4.
O vetor do termo independente é (6,6,6,6,6)^\top.]
Passo 2
O método de Gauss–Jacobi — ideia prática (aula rápida e sem mistério):
Em cada iteração, para calcular a nova aproximação de cada componente x_i usa-se apenas os valores da iteração anterior para todas as outras incógnitas.
Aqui a_{ij} são os coeficientes do sistema, b_i o termo independente, x_j^{(k)} a aproximação conhecida na iteração k, e x_i^{(k+1)} a nova componente que vamos calcular.
Aplicando isso ao sistema dado, isolamos cada x_i nas respectivas equações para escrever as fórmulas de iteração (uma por linha):
Em cada fórmula x_i à esquerda é a incógnita que vamos atualizar.
Os x_j à direita são os valores da iteração anterior (por exemplo, x_j^{(k)} ao calcular x_i^{(k+1)}).]
Passo 3
Escolha do chute inicial:
Uma escolha comum e simples é o vetor nulo x^{(0)}=(0,0,0,0,0)^\top. Vou usá-lo: é fácil de calcular e aceitável para demonstrar o método.
Observação sobre convergência (rapidinha): o método converge com garantia se a matriz for diagonalmente dominante por linhas ou satisfizer outras condições; aqui continuamos mesmo assim porque a pergunta pede apenas duas iterações e uma estimativa de erro entre iterações.
Passo 4
Primeira iteração x^{(1)} usando x^{(0)}=(0,0,0,0,0)^\top.
Aplicando as fórmulas com todos x_j^{(0)}=0:
O maior desses valores é 0,925. Logo a estimativa de erro (norma infinito entre as duas iterações) é 0,925.
Breve comentário encorajador: já com duas iterações vê-se alguma correção significativa (em especial na componente x_5). Se quiseres, dá para continuar as iterações até a diferença ficar menor que uma tolerância dada — e eu te mostro como repetir rápido.]