Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jacobi. Faça duas iterações em cada sistema e calcule o erro da aproximação.
\left\{\begin{array}{c} 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{5}=6 \\\\ -x_{1}-3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=6 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}+5 x_{3}-x_{4}-x_{5}=6 \\\\ -x_{1}-x_{2}-x_{3}+4 x_{4}=6 \\\\ 2 x_{2}-x_{3}+x_{4}+4 x_{5}=6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de cinco equações e cinco incógnitas. Lista das equações (copiadas do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{5}=6 \\[4pt] -x_{1}-3 x_{2}+x_{3}+x_{4}=6 \\[4pt] 2 x_{1}+x_{2}+5 x_{3}-x_{4}-x_{5}=6 \\[4pt] -x_{1}-x_{2}-x_{3}+4 x_{4}=6 \\[4pt] 2 x_{2}-x_{3}+x_{4}+4 x_{5}=6 \end{array}\right.
O que o problema pede:
  • Resolver o sistema pelo método de Gauss–Jacobi;
  • Fazer duas iterações do método (ou seja, calcular x^{(1)} e x^{(2)});
  • Calcular o erro da aproximação obtida (vamos usar uma estimativa de erro simples: a norma infinito da diferença entre a segunda e a primeira iteração, isto é \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}).
Informações relevantes dadas:
  • Os coeficientes das diagonais principais são a_{11}=4,\\ a_{22}=-3,\\ a_{33}=5,\\ a_{44}=4,\\ a_{55}=4.
  • O vetor do termo independente é (6,6,6,6,6)^\top.]

Passo 2

O método de Gauss–Jacobi — ideia prática (aula rápida e sem mistério):
  • Em cada iteração, para calcular a nova aproximação de cada componente x_i usa-se apenas os valores da iteração anterior para todas as outras incógnitas.
  • A fórmula geral (se a_{ii}\neq 0) é
x_i^{(k+1)}=\dfrac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr).
Aqui a_{ij} são os coeficientes do sistema, b_i o termo independente, x_j^{(k)} a aproximação conhecida na iteração k, e x_i^{(k+1)} a nova componente que vamos calcular.
Aplicando isso ao sistema dado, isolamos cada x_i nas respectivas equações para escrever as fórmulas de iteração (uma por linha):
\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{1}{4}\bigl(6 - x_2 - x_3 - x_5\bigr),\\[6pt] x_2 &= -\dfrac{1}{3}\bigl(6 + x_1 - x_3 - x_4\bigr),\\[6pt] x_3 &= \dfrac{1}{5}\bigl(6 - 2x_1 - x_2 + x_4 + x_5\bigr),\\[6pt] x_4 &= \dfrac{1}{4}\bigl(6 + x_1 + x_2 + x_3\bigr),\\[6pt] x_5 &= \dfrac{1}{4}\bigl(6 - 2x_2 + x_3 - x_4\bigr). \end{aligned}
Explicando as variáveis nas fórmulas:
  • Em cada fórmula x_i à esquerda é a incógnita que vamos atualizar.
  • Os x_j à direita são os valores da iteração anterior (por exemplo, x_j^{(k)} ao calcular x_i^{(k+1)}).]

Passo 3

Escolha do chute inicial:
  • Uma escolha comum e simples é o vetor nulo x^{(0)}=(0,0,0,0,0)^\top. Vou usá-lo: é fácil de calcular e aceitável para demonstrar o método.
  • Observação sobre convergência (rapidinha): o método converge com garantia se a matriz for diagonalmente dominante por linhas ou satisfizer outras condições; aqui continuamos mesmo assim porque a pergunta pede apenas duas iterações e uma estimativa de erro entre iterações.

Passo 4

Primeira iteração x^{(1)} usando x^{(0)}=(0,0,0,0,0)^\top.
Aplicando as fórmulas com todos x_j^{(0)}=0:
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \dfrac{1}{4}\bigl(6 - 0 - 0 - 0\bigr)=\dfrac{6}{4}=1,5,\\[4pt] x_2^{(1)} &= -\dfrac{1}{3}\bigl(6 + 0 - 0 - 0\bigr)=-\dfrac{6}{3}=-2,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \dfrac{1}{5}\bigl(6 - 0 - 0 + 0 + 0\bigr)=\dfrac{6}{5}=1,2,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \dfrac{1}{4}\bigl(6 + 0 + 0 + 0\bigr)=\dfrac{6}{4}=1,5,\\[4pt] x_5^{(1)} &= \dfrac{1}{4}\bigl(6 - 0 + 0 - 0\bigr)=\dfrac{6}{4}=1,5. \end{aligned}
Portanto
x^{(1)}=\bigl(1,5,\\\ -2,\\\ 1,2,\\\ 1,5,\\\ 1,5\bigr)^\top.]

Passo 5

Segunda iteração x^{(2)} usando os valores de x^{(1)} (Jacobi usa sempre a iteração anterior completa):
Calculamos componente a componente, substituindo os x_j^{(1)}:
  1. Para x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\dfrac{1}{4}\bigl(6 - x_2^{(1)} - x_3^{(1)} - x_5^{(1)}\bigr) =\dfrac{1}{4}\bigl(6 - (-2) - 1,2 - 1,5\bigr) =\dfrac{5,3}{4}=1,325.
  1. Para x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=-\dfrac{1}{3}\bigl(6 + x_1^{(1)} - x_3^{(1)} - x_4^{(1)}\bigr) =-\dfrac{1}{3}\bigl(6 + 1,5 - 1,2 - 1,5\bigr) =-\dfrac{4,8}{3}=-1,6.
  1. Para x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\dfrac{1}{5}\bigl(6 - 2x_1^{(1)} - x_2^{(1)} + x_4^{(1)} + x_5^{(1)}\bigr) =\dfrac{1}{5}\bigl(6 - 2\cdot1,5 - (-2) + 1,5 + 1,5\bigr) =\dfrac{8}{5}=1,6.
  1. Para x_4^{(2)}:
x_4^{(2)}=\dfrac{1}{4}\bigl(6 + x_1^{(1)} + x_2^{(1)} + x_3^{(1)}\bigr) =\dfrac{1}{4}\bigl(6 + 1,5 - 2 + 1,2\bigr) =\dfrac{6,7}{4}=1,675.
  1. Para x_5^{(2)}:
x_5^{(2)}=\dfrac{1}{4}\bigl(6 - 2x_2^{(1)} + x_3^{(1)} - x_4^{(1)}\bigr) =\dfrac{1}{4}\bigl(6 - 2\cdot(-2) + 1,2 - 1,5\bigr) =\dfrac{9,7}{4}=2,425.
Assim:
x^{(2)}=\bigl(1,325,\\\ -1,6,\\\ 1,6,\\\ 1,675,\\\ 2,425\bigr)^\top.

Passo 6

Cálculo do erro entre as iterações (estimativa simples):
  • Vou usar a norma infinito (máximo valor absoluto das diferenças componente a componente):
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_i^{(2)}-x_i^{(1)}|.
Calculemos as diferenças:
\begin{aligned} |x_1^{(2)}-x_1^{(1)}|&=|1,325-1,5|=0,175,\\[4pt] |x_2^{(2)}-x_2^{(1)}|&=|-1,6-(-2)|=0,4,\\[4pt] |x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|&=|1,6-1,2|=0,4,\\[4pt] |x_4^{(2)}-x_4^{(1)}|&=|1,675-1,5|=0,175,\\[4pt] |x_5^{(2)}-x_5^{(1)}|&=|2,425-1,5|=0,925. \end{aligned}
O maior desses valores é 0,925. Logo a estimativa de erro (norma infinito entre as duas iterações) é 0,925.
Breve comentário encorajador: já com duas iterações vê-se alguma correção significativa (em especial na componente x_5). Se quiseres, dá para continuar as iterações até a diferença ficar menor que uma tolerância dada — e eu te mostro como repetir rápido.]

Resposta

x^{(2)}=\bigl(1,325,\\\ -1,6,\\\ 1,6,\\\ 1,675,\\\ 2,425\bigr)^\top
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=0,925

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