Resolva os sistemas abaixo usando Gauss Seidel. Faça os cálculos até a terceira iteração ([llx & y]^(3)), considerando [lllx & y & z]^(0)=[lll0 & 0 & 0].
[rrr4 & -1 & 1 1 & 5 & -1 -1 & -2 & 5][lx y z]=[r1 2 -3]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
pelo método de Gauss–Seidel, partindo de e obtendo a aproximação até . Vamos usar as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel e fazer três iterações.

Passo 2

Reescrevemos cada equação isolando a incógnita correspondente:
4x - y + z = 1 Longrightarrow x = 1 + y - z4,
x + 5y - z = 2 Longrightarrow y = 2 - x + z5,
-,x - 2y + 5z = -3 Longrightarrow z = -3 + x + 2y5
No Gauss–Seidel, em cada iteração atualizamos x, em seguida y usando o novo x, e depois z usando os novos x,y.

Passo 3

Iteração k=0to1, usando l(x^(0),y^(0),z^(0)r)=(0,0,0):
x^(1) = 1 + y^(0) - z^(0)4 = 1 + 0 - 04 = 0,25,
y^(1) = 2 - x^(1) + z^(0)5 = 2 - 0,25 + 05 = 0,35,
z^(1) = -3 + x^(1) + 2y^(1)5 = -3 + 0,25 + 2cdot0,355 = -3 + 0,25 + 0,705 = -0,41
Logo l(x,y,zr)^(1)=(0,25,;0,35,;-0,41).

Passo 4

Iteração k=1to2, usando l(x^(1),y^(1),z^(1)r):
x^(2) = 1 + y^(1) - z^(1)4 = 1 + 0,35 - (-0,41)4 = 1,764 = 0,44,
y^(2) = 2 - x^(2) + z^(1)5 = 2 - 0,44 - 0,415 = 1,155 = 0,23,
z^(2) = -3 + x^(2) + 2y^(2)5 = -3 + 0,44 + 2cdot0,235 = -2,105 = -0,42
Assim l(x,y,zr)^(2)=(0,44,;0,23,;-0,42).

Passo 5

Iteração k=2to3, usando l(x^(2),y^(2),z^(2)r):
x^(3) = 1 + y^(2) - z^(2)4 = 1 + 0,23 - (-0,42)4 = 1,654 = 0,4125,
y^(3) = 2 - x^(3) + z^(2)5 = 2 - 0,4125 - 0,425 = 1,16755 = 0,2335,
z^(3) = -3 + x^(3) + 2y^(3)5 = -3 + 0,4125 + 2cdot0,23355 = -2,12055 = -0,4241
Portanto l(x,y,zr)^(3)=(0,4125,;0,2335,;-0,4241).

Resposta

l(x,y,zr)^(3) = (0,4125,;0,2335,;-0,4241)

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