Resolva os sistemas abaixo, usando a regra de Cramer e o método do escalonamento:
lx-2 y+z=1, 2 x+y=3, y-5 z=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando duas técnicas diferentes: Regra de Cramer e o Método do Escalonamento. A matéria envolvida aqui é a álgebra linear, mais especificamente, resolução de sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar calcular determinantes (no caso da Regra de Cramer) e realizar operações elementares nas equações (no Método do Escalonamento).

Passo 2

Resolução usando a Regra de Cramer
A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes para encontrar as soluções de um sistema linear quando há o mesmo número de equações e incógnitas.
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A do sistema:
A = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 0 0 & 1 & -5
Agora, calculamos o determinante de A ( det(A) ):
det(A) = 1 cdot (1 cdot (-5) - 0 cdot 1) - (-2) cdot (2 cdot (-5) - 0 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 cdot (-5) + 2 cdot (10) + 1 cdot (2) = -5 + 20 + 2 = 17
Como det(A) neq 0 , o sistema tem uma solução única.
Agora, vamos encontrar x , y e z substituindo as colunas correspondentes pela matriz dos termos constantes:
Ax = 1 & -2 & 1 3 & 1 & 0 4 & 1 & -5 , Ay = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 0 0 & 4 & -5 , Az = 1 & -2 & 1 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4
Calculamos os determinantes:
det(Ax) = 1 cdot (3 cdot (-5) - 0 cdot 1) - (-2) cdot (2 cdot (-5) - 0 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 0) = 1 cdot (-15) + 2 cdot (10) + 1 cdot (2) = -15 + 20 + 2 = 7
det(Ay) = 1 cdot (3 cdot (-5) - 0 cdot 4) - 1 cdot (2 cdot (-5) - 0 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 0) = 1 cdot (-15) - 1 cdot (-10) + 1 cdot (8) = -15 + 10 + 8 = 3
det(Az) = 1 cdot (1 cdot 4 - 3 cdot 1) - (-2) cdot (2 cdot 4 - 3 cdot 0) + 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 cdot (4 - 3) + 2 cdot (8) + 1 cdot (2) = 1 + 16 + 2 = 19
Finalmente, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar as variáveis:
x = det(Ax)det(A) = 717, y = det(Ay)det(A) = 317, z = det(Az)det(A) = 1917

Passo 3

Resolução usando o Método do Escalonamento
O Método do Escalonamento (ou Eliminação de Gauss) envolve transformar o sistema de equações em uma forma triangular, facilitando a resolução por substituição.
Começamos com o sistema original:
çãçãçã
Passo 3.1: Eliminar [x) das Equações 2 e 3.
Para Equação 2:
Já temos , então vamos multiplicar a Equação 1 por 2 e subtrair da Equação 2:
çã
Para Equação 3:
Como não há na Equação 3, mantemos inalterada:
çã
Agora, temos o sistema simplificado:
çãçãçã
Passo 3.2: Eliminar (y] entre as Equações 2 e 3.
Multiplicamos a Equação 3 por 5:
çã
Subtraímos a Equação 2 da Equação 4:
Passo 3.3: Encontrar usando o valor de na Equação 3:
Passo 3.4: Encontrar usando os valores de e na Equação 1:

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 3623, y = -323, z = -1923

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