Seja W subset R^n um subespaço. Mostre que W cap W^perp=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se W é um subespaço de R^n e
W^perp = l,vinR^n mid lang<= v, wrang<= = 0;forall win Wr,
então
W cap W^perp = 0
O que vamos usar é a definição de complemento ortogonal e a positividade definida do produto interno usual em R^n.

Passo 2

Seja vin Wcap W^perp. Então, por um lado vin W, e por outro lang<= v,wrang<==0 para todo win W. Em particular, como vin W, posso escolher w=v. Logo
lang<= v,vrang<= = 0
Mas no espaço R^n com o produto interno usual vale sempre lang<= v,vrang<= = |v|^2>=0 e somente é zero quando v=0. Portanto v deve ser o vetor zero.

Resposta

Wcap W^perp = 0

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