Resolva os sistemas abaixo, usando a regra de Cramer e o método do escalonamento:
l2 x-3 y+7 z=1, x+3 z=5, 2 y-z=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
2x - 3y + 7z = 1, x + 3z = 5, 2y - z = 0
e pede a solução por dois métodos:
  1. Regra de Cramer, que usa determinantes de matrizes 3times3.
  2. Escalonamento (eliminação de Gauss), que usa operações elementares sobre linhas para chegar a um sistema triangular.

Passo 2

Pela Regra de Cramer, a matriz de coeficientes é
A = 2 & -3 & 7 1 & 0 & 3 0 & 2 & -1
e seu determinante principal D vale
D = 2cdotdet!0 & 32 & -1 -(-3)cdotdet!1 & 30 & -1 +7cdotdet!1 & 00 & 2
Calculando cada menor:
det!0 & 32 & -1=0cdot(-1)-3cdot2=-6, det!1 & 30 & -1=1cdot(-1)-3cdot0=-1, det!1 & 00 & 2=2
Logo
D = 2cdot(-6)-(-3)cdot(-1)+7cdot2 = -12 -3 +14 = -1

Passo 3

Agora substituímos colunas pelo vetor de constantes (1,5,0) para obter Dx,Dy,Dz.
Para Dx (substituindo a primeira coluna):
Dx = det 1 & -3 & 7 5 & 0 & 3 0 & 2 & -1 =1cdot(-6)-(-3)cdot(-5)+7cdot10 =-6 -15 +70 = 49
Para Dy (substituindo a segunda coluna):
Dy = det 2 & 1 & 7 1 & 5 & 3 0 & 0 & -1 =2cdot(-5)-1cdot(-1)+7cdot0 =-10 +1 +0 = -9
Para Dz (substituindo a terceira coluna):
Dz = det 2 & -3 & 1 1 & 0 & 5 0 & 2 & 0 =2cdot(-10)-(-3)cdot0+1cdot2 =-20+0+2 = -18

Passo 4

Pela Regra de Cramer,
x = DxD = 49-1 = -49, y = DyD = -9-1 = 9, z = DzD = -18-1 = 18

Passo 5

Pelo método de escalonamento, escrevemos a matriz aumentada
Eliminamos o elemento abaixo do pivô na primeira coluna fazendo

Passo 6

Em seguida, zeramos o coeficiente de na terceira linha usando
Isso nos dá o sistema triangular

Passo 7

Resolvendo de baixo para cima:
Da terceira linha triangular vem
-tfrac13,z = -6 Longrightarrow z = 18
Substituindo em tfrac32y - tfrac12z = tfrac92:
tfrac32,y = tfrac92 + tfrac12cdot18 = tfrac92 +9 = tfrac272 Longrightarrow y = 9
Por fim, em 2x -3y +7z = 1:
2x = 1 +3cdot9 -7cdot18 = 1 +27 -126 = -98 Longrightarrow x = -49

Resposta

(x,y,z)=(-49,,9,,18).

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